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Vektoren im Raum 02:57 min

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Transkript Vektoren im Raum

Wir wollen über Vektoren im Raum sprechen. Wir kennen Vektoren in der Ebene. Sie sind gekennzeichnet durch Richtung und Länge. Nun zum Dreidimensionalen: Zu unserer Ebene fügen wir eine dritte Koordinatenachse hinzu, die Z-Koordinate. Ein Punkt hat also 3 Koordinaten: die X-Koordinate, die Y-Koordinate und die Z-Koordinate. Wie finden wir nun diesen Punkt? Zunächst gehe ich in die XY-Ebene. Auf der Y-Achse suche ich die Position und trage eine Parallele zur Y-Achse ein. Dasselbe mache ich an der Y-Position und ziehe eine Parallele zur X-Achse. Nun trage ich noch die Höhe der Z-Koordinate ab und schon finde ich meinen Punkt P. In diesem sogenannten dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem wollen wir nun Vektoren zwischen 2 Punkten erklären. Wir haben unsere 2 Punkte P und Q und zeichnen nun den Pfeil zwischen beiden, P und Q. Dies ist er Vektor a, also a=der Vektor PQ. Wie im Zweidimensionalen lässt sich der Vektor PQ durch seine Koordinaten ausdrücken. Hier (P1|P2|P3) und (Q1|Q2|Q3). Um den Vektor a nun zu berechnen, berechne ich einfach nun die Differenz der Koordinaten: Q1-P1, Q2-P2 und Q3-P3. Das ist in dem Fall unseres Vektors vorher: 1-4, 4-1, 3-1, also -3, 3, 2. Wie im Zweidimensionalen kann ich auch einen Punkt im Dreidimensionalen um einen Vektor verschieben. Ich habe einen Punkt P und will ihn um den Vektor a verschieben, das heißt, ich suche einen Punkt Q, sodass der Vektor PQ=a. Nun, wie finde ich diesen Punkt Q? Wie im Zweidimensionalen ist Q die Summe der Koordinaten, also (P1+a1|P2+a2|P3+a3). Auch im Raum kann ich wie in der Ebene einen Betrag definieren. IN der Ebene war es die Summe der Koordinatenquadrate und dann die Wurzel daraus. Nun, und das übertrage ich einfach in den Raum:  Der Betrag des Vektors B mit den Komponenten b1, b2 und b3 ist nichts weiter als die Summe der Komponentenquadrate und daraus die Wurzel. Das ist der Betrag.

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1 Kommentar
  1. Default

    habs verstanden, danke ! :)

    Von Paulchen1234, vor mehr als 3 Jahren