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Transkript Skalarprodukt – Beispiele

Hallo, wir haben Skalarprodukt zweier Vektoren. Das sieht so aus. Ich zeige hier die Version, die in der Schule üblich ist. Wir haben als zwei dreidimensionale Vektoren und multiplizieren die miteinander. Ich schreibe hier einen Stern und manche schreiben einen Kringel oder schreiben auch einfach einen Malpunkt. Alles ist gebräuchlich. Und das geht so: Diese beiden Vektoren also multiplizieren, indem man die ersten beiden Koordinaten multipliziert, die zweiten beiden und die dritten beiden auch und dann alle Ergebnisse addiert. Und das heißt dann Skalarprodukt. Da muss ich 2 Sachen erwähnen. Manche Leute sagen jetzt hier erst einmal, was soll das, man addiert irgendetwas, was soll das für ein Produkt sein? Wenn man Zahlen multipliziert, dann addiert man ja auch nichts. Gut, bei Zusammenfassungen, aber das ist auf jeden Fall anders als bei Zahlen. Ja, richtig, es ist ganz anders als bei Zahlen, ist aber trotzdem das Skalarprodukt. Hat man so definiert. Man definiert halt, wie die Verknüpfung zweier Vektoren ist, wie die Multiplikation ist und da gibt es wieder Leute, die sagen, das ist doch komisch, also das ergibt sich doch irgendwie, wie was multipliziert wird. Das ist doch bei den Zahlen auch nicht so, dass man sich das aussuchen kann und einfach was ganz anderes macht und sagt, so das ist jetzt eine neue Multiplikation. Nun, das ginge bei Zahlen auch, bei Vektoren insbesondere, und es sind sogar mehrere Produkte für Vektoren definiert, die sich voneinander unterscheiden. Bei Vektoren ist es nicht von vornherein klar, was es bedeutet, 2 Vektoren zu multiplizieren. Es gibt das Skalarprodukt, das habe ich hier aufgeschrieben. Es gibt das Kreuzprodukt, es gibt das Spatprodukt und noch andere Möglichkeiten. Also, das ist wirklich eine Festlegung, das ist eine Definition und ergibt sich nicht naturgemäß. Wenn Du möchtest, kannst Du auch eine neue Definition finden, wie Vektoren multipliziert werden, vielleicht ist was Interessantes dabei, warum nicht?   Ich zeige kurz ein Beispiel, wie man das mit zwei konkreten Vektoren macht. Man nimmt: 7×0+2×(-3)+1×9=3. Die Zahl, die hier rauskommt, ist das Ergebnis dieses Skalarproduktes. Da fehlt noch ein kleines Gleichheitszeichen. Jetzt ist es schön. Auch das ist wieder ein bisschen gewöhnungsbedürftig, vielleicht. Man darf da ruhig nachfragen, und seine Zweifel haben. Also, wir haben zwei Vektoren und die multiplizieren wir und eine Zahl kommt heraus. Ja, das ist so, deshalb heißt das Skalarprodukt, weil ein Skalar, also eine Zahl herauskommt. Es gibt übrigens auch das Skalare Produkt, da wird eine Zahl mit einem Vektor multipliziert. Das Skalare Produkt ist was anderes als das Skalarprodukt. Die Wörter sind ähnlich, ich weiß, ich kann nichts dafür. Das ist das Skalarprodukt, weil ein Skalar rauskommt. Das Skalare Produkt heißt deshalb so, weil ein Vektor mit einem Skalar multipliziert wird, also mit einer Zahl.    Das Komische ist hier, man multipliziert zwei Vektoren und nicht ein Vektor kommt heraus, sondern eine Zahl. Sehr merkwürdig. Ist aber in dem Fall so. Es gibt auch das Kreuzprodukt, da multipliziert man zwei Vektoren und ein Vektor kommt heraus, das geht auch, kein Problem, aber hier kommt eben eine Zahl raus. Da könnte man denken, wenn ich sonst zwei Zahlen multipliziert habe, wenn ich 2×3 rechne, da kommt nachher auch nicht Eier raus, oder so. Da kommt dann wieder eine Zahl raus. Ist jetzt bei Vektoren tatsächlich anders, wie gesagt, vielleicht etwas gewöhnungsbedürftig.   Jetzt kommt noch eine Sache. Ich habe hier mal zwei freundliche Vektoren vorbereitet. Wenn man hier also das Skalarprodukt bildet, dann haben wir (-3)×2+5×3+6×(-1,5) und das ist 0. Also, diese beiden Vektoren sind ja nicht gleich 0. Da kommt auch keine 0 drin vor, bei den Zahlen ist das so, wenn man 0×1000 rechnet, zum Beispiel, dann kommt da 0 raus. Wir können auch 0×0 rechnen, dann kommt da 0 raus, aber wenn wir eine Zahl ungleich 0 haben und mit einer Zahl ungleich 0 multiplizieren, dann kommt da niemals 0 raus. Hier ist es anders, wir haben 2 Vektoren, die ungleich 0 sind und trotzdem kommt 0 raus. Übrigens, das wird uns noch weiter beschäftigen: Diese beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander, das bedeutet so, oder so. Wir wissen, immer wenn das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren senkrecht. Wenn sie senkrecht stehen, ist das Skalarprodukt 0. Ist eine freundliche Eigenschaft dieses Skalarproduktes, wird in vielen Anwendungen verwendet.   Hier soll erst einmal damit Schluss sein. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Default

    Guten Tag lieber Martin Wabnik,
    zunächst vielen, vielen Danke für deine tollen Videos. Sie sind immer sehr hilfreich und vor allem anschaulich. Nun hätte ich aber eine Frage zu den Punkt, den Sie am Ende des Videos angesprochen haben. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist Null, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen. Doch mal angenommen man müsste einen Vektor finden, der senkrecht zu zwei Vektoren ist, dann hätte man ein unterbestimmtes Gleichungssystem zu lösen. Das ergibt für mich keinen Sinn. Warum ist eine Variable frei wählbar oder warum hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen?
    Danke im Voraus.

    Von Zarif, vor fast 4 Jahren
  2. Default

    Vielen Dank, hatt geholfen.

    Von Michael Arens, vor mehr als 5 Jahren