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Transkript Sinusfunktion – Spezielle Werte (2)

Hallo! Wir haben hier unsere freundliche Sinusfunktion und es geht um spezielle Werte, spezielle Funktionswerte an bestimmten, markanten Stellen. Und ich möchte mal danach fragen: Wie groß ist der Funktionswert bei 45°? 45° können wir erst mal im Bogenmaß umrechen. 45° ist ungefähr hier, nicht, das ist ein 45°-Winkel. Wenn wir einmal ganz herum sind, um den Kreis hat dieser Bogen die Länge 2×π. Wenn wir halb rumgehen, ist die Länge 1π, also das Bogenmaß des 180°-Winkels ist π. Hier ist π/2 und die Hälfte davon ist π/4. Ja, das ist ja ein 90°-Winkel, ein 45°-Winkel ist die Hälfte von 90°, und daher ist also das Bogenmaß des 45°-Winkels π/4. Und der Sinuswert an dieser Stelle, also sin(π/4)=1/\sqrt(2). 1/\sqrt(2) ist der Sinuswert bei π/4. Warum ist das der Fall? Dazu brauche ich einen Viertelkreis. So das wird jetzt etwas ähnliches, wie ein Viertelkreis, bitte schön. Und hier kommt jetzt der 45°-Winkel rein. Das ist ein 45°-Winkel und daraus bastele ich jetzt ein Dreieck. Das ist ein 90°-Winkel und das hier ist der Sinuswert. Wenn hier ein 45°-Winkel ist und da ein 90°-Winkel, dann ist hier auch ein 45°-Winkel, das heißt, es handelt sich hierbei um ein gleichschenkeliges Dreieck. Nicht, wenn die beiden Basiswinkel gleich sind, dann ist ja das Dreieck auch gleichschenkelig, oder wenn überhaupt 2 Winkel gleich sind, ist es ein gleichschenkeliges Dreieck. Wir haben es außerdem mit einem rechtwinkeligen Dreieck zu tun und können deshalb den Satz des Pythagoras anwenden. Der Satz des Pythagoras lauter ungefähr folgendermaßen, ja vielleicht bist du andere Symbole gewohnt, ich nehme die hier: Kathete1, das ist ein k, Kathete12+Kathete 22=Hypotenuse2. Was hilft uns das? Wir wissen zum einen, unsere Hypotenuse, hier, ist ja der Radius, deshalb können wir das schon wieder wegnehmen und 1 hinschreiben, denn 12 ist ja ebenfalls =1. Und die beiden Katheten hier übrigens sind ja gleich groß, deswegen brauchen wir nicht zwischen einer Kathete und anderer Kathete zu unterscheiden, beziehungsweise Kathete1 und Kathete2. Das ist egal. Und wir brauchen die beiden auch jetzt nicht hier so aufwendig addieren, denn beide Quadrate sind ja gleich, also können wir einfach schreiben: 2×k2=1. Naja, und wenn man das jetzt auflöst, nach k, dann erhält man: k, ich schreib das mal ganz locker hier hin ohne Indizes, ±\sqrt(½). Ja schreibe ich so hin: \sqrt(½). Und von den Wurzelgesetzen her weißt du, du kannst aus einem Bruch die Wurzel ziehen, indem du getrennt aus dem Nenner und aus dem Zähler die Wurzel ziehst und das ist dann 1/\sqrt(2). Es ist eine quadratische Gleichung, deshalb erhalten wir hier 2 Lösungen. Für diesen Fall hier kommt die positive Lösung infrage. Naja, wenn wir einen negativen Winkel haben, dann ist die Sinusfunktion auch an der Stelle negativ. Aber das hat nicht unbedingt was mit der quadratischen Gleichung zu tun. Ich glaube, ich sollte da auch nicht so sehr ins Detail gehen. Auf jeden Fall: 1/\sqrt(2) ist die Länge dieser Strecke, wenn man diesen Radius hier als Maßstab nimmt und deshalb ist auch 1/\sqrt(2) der Sinuswert an dieser Stelle. Nun das möchte ich eben hier noch eintragen. 1/\sqrt(2) ist übrigens ungefähr 0,707. Finde ich, ist eine ganz lustige Zahl, kann man sich gut merken. Hier ist π/4, ja ich muss mich auch mal vergewissern, was ich hier eigentlich mache. π/4 ist hier. Und hier ist dann also, hier auf der y-Achse ist 0,707. Entsprechend haben wir die Situation im negativen Bereich. Der Funktionswert der Sinusfunktion bei -π/4 ist -1/\sqrt(2), also circa -0,707. Viel Spaß damit, tschüss!

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