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Transkript Sinusfunktion – Achsensymmetrie

Hallo!

Eine wichtige Eigenschaft der Sinusfunktion, oder des Graphen der Sinusfunktion, ist die Achsensymmetrie. Der Graph der Sinusfunktion ist achsensymmetrisch zu jeder Parallelen, zur y-Achse, durch einen Hoch- oder Tiefgraphen der Sinusfunktion. Das ist ein kleines Wortmonstrum, das muss man ein bisschen genauer zeigen, glaube ich.   Hier ist eine rote Gerade (die können wir uns ja vorstellen) die verläuft parallel zur y-Achse. Damit ist hier eine Parallele zur y-Achse. Und diese rote Gerade verläuft durch einen Hochpunkt des Graphen der Sinusfunktion. Da ist der Hochpunkt, und da geht die Gerade durch. Das ist damit gemeint. Die Sinusfunktion, oder der Graph der Sinusfunktion, ist jetzt achsensymmetrisch zu dieser Achse. Das bedeutet: Wenn ich diese Folie jetzt knicken oder zusammenfalten würde, dann würden diese beiden Teile des Graphen deckungsgleich sein. Ist fast wie bei Klecksbildern, da geht das auch, kann man auch mit der Sinusfunktion machen. Aber das ist eben nicht nur an dieser Stelle so, sondern es ist auch hier so. Auch hier könnte ich diese Folie zusammenklappen und die beiden Hälften des Graphen der Sinusfunktion wären dann deckungsgleich. Hier genauso, und so weiter, und so weiter.   Und diese Eigenschaft steht hier. Vielleicht kann ich dazu auch noch ein paar Sachen erläutern. Ich fange mal hier an. Hier steht ja sin von Klammer - das, was hier in der Klammer steht, ist eine Stelle auf der x-Achse, und wir müssen mal eben überlegen, welche Stellen dafür infrage kommen und durch diesen Ausdruck bezeichnet werden. Zunächst mal haben wir 0,5 × π. Das sind π/2, und das ist hier. Also da wo die Gerade, diese rote Gerade, durch die x-Achse geht, da ist 0,5 × π oder π/2. Jetzt können wir für k irgendeine ganze Zahl einsetzten, also eine Zahl aus der Menge 0, 1, -1, 2, -2 und so weiter. Und ich möchte mal zu Demonstrationszwecken in Gedanken -1 einsetzten. Dann steht hier also -1 × π. Wenn ich jetzt um die Strecke π nach links gehe, die Gerade also um - π verschiebe, dann komme ich zu diesem Tiefpunkt. Wenn ich für k -2 einsetze, dann habe ich hier π/2 - 2π. Das ist dann hier an diesem Hochpunkt. -3π ist hier. Wenn ich für k 1 einsetzte, dann steht hier 1,5π - also hier ist π/2 und dann noch 1π dazu, das ist dann hier bei 3/2π, und so weiter. Das bedeutet: Immer wenn ich für k irgendeine Zahl einsetze, dann komme ich mit diesem Ausdruck zu einem Hochpunkt oder Tiefpunkt des Graphen der Sinusfunktion.   Und ich gehe mal davon aus, dass wir für k 0 einsetzen, dann steht hier nämlich einfach nur 0,5 × π, also π/2.  Für diese Zahl möchte ich etwas zeigen (das gilt natürlich für alle anderen Zahlen auch). Wenn ich jetzt zu 0,5π x hinzuaddiere, dann passiert Folgendes (ich mache das mal nicht auf der x-Achse, um hier nicht so reinzumalen). Mal angenommen, das ist x, diese Strecke x gehe ich jetzt nach rechts. Hier haben wir π/2 und x wird dazuaddiert, hier haben wir auch π/2, weil man für k ja dasselbe einsetzen muss. Und dann rechnen wir: - π, das heißt, wir können diese Strecke hier abziehen. Dann kann man Folgendes erkennen: Wir gucken uns mal den Funktionswert hier an dieser Stelle an. Der ist hier beispielsweise ungefähr -0,4, und da ist er auch ungefähr -0,4. Wir gehen von einem Hoch- oder Tiefpunkt aus, und zwar symmetrisch in beiden Richtungen, entweder um x oder -x, und kommen dann, wenn wir an diesen x-Stellen die Funktionswerte bilden zu gleichen Ergebnissen, zu gleichen Funktionswerten. Und das ist für alle anderen x auch der Fall. Wenn wir beispielsweise hier mal verlängern, dann wären wir bei den Tiefpunkten, und dann geht es symmetrisch wieder hoch, und hier geht es weiter symmetrisch wieder hoch, bis wir zu den beiden Hochpunkten kommen. Ich glaube das ist anschaulich und klar, dass es so ist. Normalerweise - oder zumindest in vielen Schulbüchern - wird die Definition hier so nicht aufgeschrieben, sondern es steht dann einfach: sin(π/2 + x) = sin(π/2 - x). Wenn man das so aufschreibt, bedeutet das aber nur, dass die Sinusfunktion symmetrisch zu dieser Achse ist, denn π/2 ist ja hier an dieser Stelle. Der Vollständigkeit halber muss man sagen, dass es ja mehrerer Symmetrieachsen gibt, aber oft steht es so da. Jetzt kennst du beides, viel Spaß damit, tschüss!

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