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Transkript Sinus, Cosinus, Tangens eines Winkels und Einheitskreis

Hallo, schön, dass ihr wieder zuschaut, heute möchte ich euch nämlich erzählen, was der Sinus, Cosinus und Tangens von einem Winkel ist und was der Einheitskreis damit zu tun hat. Also, zu allererst braucht man dazu ein Dreieck, das einen rechten Winkel hat. Den Winkel hier unten, den nennen wir Alpha, und weil es ja ein rechtwinkliges Dreieck ist, ist das hier oben die Hypotenuse, hier unten ist die Ankathete, weil sie an dem Winkel Alpha dranliegt, und die Seite rechts ist dementsprechend die Gegenkathete, weil sie gegenüber liegt. So - und jetzt können wir das Geheimnis lüften: Der Sinus des Winkels Alpha ist das Verhältnis aus der Gegenkathete zur Hypotenuse. Machen wir mal ein Beisiel: Ich mess jetzt mal den Winkel hier, der hat 35 Grad, da berechnen wir also jetzt Sinus von 35 Grad, so, dann müssen wir zuerst die Gegenkathete messen, die ist ungefähr 21 Zentimeter lang, und dann die Hypotenuse und die ist 36 Zentimeter lang. Da haben wir also 21 Sechsunddreißigstel, das kürzt sich zu sieben Zwölftel, und das ist ungefähr 0,58. Der Sinus von 35 Grad ist also 0,58. So, wie sieht das jetzt beim Cosinus aus? Der Cosinus von Alpha ist gleich die Ankathete durch die Hypotenuse, also diese Strecke durch die Hypotenuse. Nehmen wir wieder unseren Winkel von 35 Grad, dann müssen wir noch die Ankathete messen, die ist 29,5 Zentimeter lang, und 29,5 durch 36 ist dann ungefähr 0,82. Der Tangens von Alpha ist das Verhältnis aus der Gegenkathete und der Ankathete - also ein bisschen so eine Mischung aus Sinus und Kosinus. Für 35 Grad rechnen wir den Tangens mal aus: Die Gegenkathete war 21 Zentimeter lang und die Ankathete 29,5. Und da kommt dann ungefähr 0,71 raus. Ja, und ihr könnt ja mal noch andere Dreiecke zeichnen oder ausschneiden und dann mal die Sinuswerte und die Cosinuswerte von den Winkeln bestimmen. Und wir machen jetzt weiter mit einer anderen Definition der drei Größen, und zwar mit dem Einheitskreis. Was ist der Einheitskreis? Der Einheitskreis ist ein Kreis mit Radius 1. Und da können wir jetzt wieder unser Dreieck reinlegen, das ist ein bisschen kleiner als eben, das hat jetzt die Hypotenusenlänge 1. Denn die Hypotenuse ist gleich lang wie der Radius und der hat ja die Länge 1. Da ist wieder der Winkel Alpha. So, und jetzt erinnern wir uns nochmal an die Definition von eben: Da war Sinus Alpha gleich Gegenkathete durch Hypotenuse, aber die Hypotenuse hat hier die Länge 1, also ist das einfach die Gegenkathete. Also die Strecke hier rechts, das ist der Sinus von dem Winkel. Und wenn wir jetzt das Dreieck mal weglassen und einfach nur den Winkel betrachten, dann müssen wir also den Punkt nehmen, wo der Winkel den Kreis schneidet, und von dort aus senkrecht nach unten projizieren, bis auf der x-Achse sozusagen. Und der Abstand, der dabei entsteht senkrecht, das ist der Sinus von dem Winkel. Okay, jetzt legen wir das Dreieck wieder hin und schauen uns den Cosinus an, da stand im Zähler nicht Gegenkathete, sondern Ankathete, die Hypotenuse ist aber immer noch 1, also bleibt nur Ankathete übrig. Das heißt, der Cosinus von Alpha ist die waagerechte Strecke unten, die Ankathete, also von da, wo der Winkel den Einheitskreis schneidet, wird nach unten projiziert, und die Strecke von der Null bis zu dem Schnittpunkt ist der Cosinus. Jetzt verlängere ich den Winkel mal noch so weit, bis ich den nach unten projizieren kann, sodass er genau auf der 1 landet. Und die Strecke, die dabei entsteht, nenne ich mal c. So, jetzt räumen wir das mal schnell weg hier. So, und jetzt verhält sich doch c zu 1, also die senkrechte Strecke hier zu der waagerechten, zum Radius, wie Sinus Alpha zu Cosinus Alpha, nach dem Strahlensatz. Und die sind ja hier genau Gegenkathete und Ankathete, und der Quotient war nach der Definition der Tangens von Alpha. Also ist die Strecke c hier oben der Tangens von Alpha. Da zeichne ich den Winkel also so weit, bis ich den senkrecht nach unten auf die 1 projizieren kann. Und die Strecke, die bei dieser Projektion entsteht, das ist der Tangens. So, und jetzt möchte ich mir nochmal Sinus, Cosinus, Tangens von ein paar wichtigen Winkeln anschauen. Der Sinus von Null Grad - Null Grad heißt, dass der Winkel quasi noch auf der x-Achse drauf liegt - und wenn ich dann auf die x-Achse projiziere, na dann ist der Weg dahin Null. Bei Sinus von 90 Grad hab ich also schon soweit gedreht - der Schnittpunkt ist genau hier oben - und wenn ich das runterprojiziere, dann krieg ich genau die Radiuslänge, also Strecke 1. Und das hier sind jetzt 180 Grad, da liegt der Winkel wieder selber auf der x-Achse, also ist die Länge der Projektion auf die x-Achse wieder Null. Und bei 270 Grad? Wenn ich da vom Schnittpunkt auf die x-Achse projiziere, hab ich wieder den Abstand 1, aber es geht nach unten, wir sind unterhalb der x-Achse, und dann sagt man, der Sinus ist Minus 1. So, und jetzt zum Cosinus von Null Grad, das ist also wieder dieser Winkel, der hier liegt, und die Strecke von der Null bis zu dem Schnittpunkt mit dem Kreis hat die Länge 1, das ist genau der Abschnitt auf der x-Achse. Also - Cosinus Null Grad gleich 1. So, wenn ich bei 90 Grad vom Schnittpunkt runter auf die x-Achse projiziere, lande ich im Punkt Null, also ist der Abstand Null, und bei 180 Grad ist der Schnittpunkt mit dem Kreis eine Einheit links vom Ursprung, und da sagt man dann eben, der Cosinus ist Minus 1, weil es nach links geht. So, der Cosinus von 270 Grad ist wieder Null, wenn wir hochprojizieren, landen wir wieder selbst im Ursprung, und jetzt noch ein bisschen zum Tangens: Bei Null Grad hat die Projektion auf die x-Achse wieder die Länge Null, egal, wo man sie nimmt. Wenn ich bei 45 Grad den Schenkel des Winkels verlängere, bis ich ihn auf die 1 projizieren kann, dann ist der genau die Diagonale des Einheitsquadrats. Das heißt, der Tangens, rechts die Strecke, ist 1. So, und jetzt versucht mal, während der Bleistift hochgeht, in Gedanken rechts die gestrichelte Linie mitzuverfolgen. Die wird ja immer größer, die wird riesig groß, ganz schnell. Und bei 90 Grad wäre sie unendlich lang und da ist eben der Tangens nicht definiert. So, und zum Schluss wollte ich noch eine ganz wichtige Formel mit Sinus und Cosinus zeigen, das sieht man wieder an unserem Dreieck, die eine Kathete ist ja der Sinus und der andere der Cosinus und die Hypotenuse hat die Länge 1, also ist Sinus Quadrat von Alpha plus Cosinus Quadrat von Alpha gleich 1. Und dieser Satz heißt Trigonometrischer Pythagoras. Der Begriff Sinus kommt übrigens aus dem Lateinischen, das hieß da soviel wie Bogen oder Krümmung. Okay, genug gelernt für heute, das war’s, bis zum nächsten Mal.

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39 Kommentare
  1. Bewerbungsfoto

    Beim Einheitskreis muss man sich einmal die Erklärung mit dem Einheitsdreieck anschauen. Dann sieht man, dass der Sinus die senkrechte Strecke ist und der Kosinus die waagerechte. Wenn man sich das merkt - sozusagen als neue Erklärung (Definition) von Sinus und Kosinus - kann man die Winkel danach auch verstehen.

    Viel Erfolg!

    Von Steve Taube, vor 6 Monaten
  2. Default

    Wenn bei den Beispielen die du zu Sinus und Kosinus gebracht hast keine Dreieche sind,kann man kaum verstehen warum das jetzt kosinus bzw. Sinus ist.

    Von Daniela 11, vor 6 Monaten
  3. Default

    Super erklärt! Aber welche gestrichelte Linie war gemeint?

    Von Klpublic, vor 10 Monaten
  4. Default

    seeehhr gut :)

    Von Sebastian Vo92, vor 11 Monaten
  5. Default

    Danke das hat mir sehr geholfen:)

    Von Tanya Elshorst, vor mehr als einem Jahr
  1. Bewerbungsfoto

    Hallo Titus,
    man berechnet die gezeigten Strecken in einem Kreis. Wozu das Ganze?
    1. Dies ist sehr hilfreich, wenn man in Dreiecken unbekannte Längen bestimmen möchte. So kann man zum Beispiel aus der Länge zweier Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die Länge der dritten Seite berechnen, ohne sie zu zeichnen. Das geht nur mit dem Sinus und dem Kosinus.
    2. Es gibt viele Prozesse in der Natur und in der Wirtschaft, die sich besonders dadurch auszeichnen, dass sie periodisch sind, das heißt, dass sie sich in gleich bleibenden Abständen wiederholen, z.B. der Wasserstand an einer Küste mit Ebbe und Flut. Wenn man diese Art von Vorgang mit einer Funktion beschreiben will (um den Vorgang besser zu verstehen bzw. Voraussagen zu machen), dann braucht man eine Funktion, die periodisch ist. Aus den im Video beschriebenen Größen Sinus, Kosinus, Tangens kann man Funktionen definieren: die Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion. Sie eignen sich sehr gut für die Beschreibung periodischer Vorgänge. Da der Sinus und Kosinus, wie im Video gezeigt, auf dem Einheitskreis basieren, sind sie auch periodisch, ihre Funktionswerte wiederholen sich immer wieder.

    Von Steve Taube, vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    was hat man denn mit sinus cosinus und tangens berechnet
    ??????

    Von Titus T, vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    klasse :)

    Von Rbloching, vor mehr als 2 Jahren
  4. Chrysanthemum

    Einfach und verständlich erklärt! Danke!

    Von Lena Sophie 1, vor mehr als 2 Jahren
  5. Default

    nicht schlecht

    Von Feyzaulvi 1, vor mehr als 2 Jahren
  6. Default

    ich bin 12 und habst verstanden

    Von J Trouvain, vor fast 3 Jahren
  7. Default

    Sehr gut erklärt. Danke!

    Von Deleted User 133282, vor fast 3 Jahren
  8. Default

    Super Erklärung, sehr verständlich!

    Von Celia Brueckner, vor fast 3 Jahren
  9. Default

    sehr gut erklärt!

    Von Ios A., vor fast 3 Jahren
  10. Default

    Danke! Die Erklärung war echt sehr verständlich. Im Matheunterricht habe ich nichts verstanden, dafür in diesem Video...;)

    Von Marina Schiera, vor etwa 3 Jahren
  11. Default

    super Video - endlich alles verstanden. Danke.

    Von Reiz, vor mehr als 3 Jahren
  12. Default

    Jetzt hab ich das endlich mal verstanden, danke (:

    Von Isa Isenberg, vor mehr als 3 Jahren
  13. Default

    danke hast mir viel geholfen. Hab das im matheunterricht so gar nicht kapiert. Sehr anschauliches video und ausführlich erklärt
    weiter so! :D

    Von Filip01, vor mehr als 3 Jahren
  14. Image

    #Michael P.
    man hat keine einheit, da man bei dem Bruch die cm rauskürzt und dann zufälligerweise keine Einheit mehr hat...also weder Affen noch Pferde!!!

    Von Sonia Ginger, vor fast 4 Jahren
  15. Default

    super

    Von Stefanbegic, vor fast 4 Jahren
  16. Default

    gut erklärt....Danke :)

    Von Kenneth K., vor fast 4 Jahren
  17. Default

    wo ist beta und gamma

    Von Andrin2001, vor fast 4 Jahren
  18. Default

    Super erklärt ! ^^

    Von Pierre/Luca M., vor etwa 4 Jahren
  19. Default

    bei minute 2:10 kommt 0,71 raus... was soll denn das sein !? cm, m, Kg, pferde , affen !? sorry aber so hab ich es in der schule gelernt das man immer den wert noch dahinter schreibt!

    Von Michal P., vor mehr als 4 Jahren
  20. Default

    und was ist denn ich den winkel alpha nicht kenne ?

    Von Michal P., vor mehr als 4 Jahren
  21. Default

    GUT: sehr gut

    Von Whatsmyname, vor mehr als 4 Jahren
  22. Default

    das viedeo hilft

    Von Dennis25101999, vor mehr als 4 Jahren
  23. Default

    Gut.

    Von Tarek701, vor fast 5 Jahren
  24. Default

    super erklärt

    Von Benita, vor fast 5 Jahren
  25. Default

    sehr schön

    Von Christian O., vor mehr als 5 Jahren
  26. Default

    Sehr gut erklärt!! Super Video!!

    Von Pseizer, vor mehr als 5 Jahren
  27. Default

    wirklich sehr sehr gutes Video weiter so ! bitte noch mehr zu dem thema :)

    Von Andex04, vor mehr als 5 Jahren
  28. Default

    cool danke! sehr gut verständlich

    Von Carl A., vor etwa 6 Jahren
  29. Default

    Sehr anschaulich! 1a

    Von Yousef O., vor mehr als 6 Jahren
  30. 2011 12 31%2014.52.05%20 %202

    Sehr, sehr anschaulich. Mathematische Barfußläufer wie ich profitieren davon =)

    Von Marc H., vor fast 7 Jahren
  31. 2011 12 31%2014.52.05%20 %202

    Sehr, sehr anschaulich. Mathematische Barfußläufer wie ich profitieren davon =)

    Von Marc H., vor fast 7 Jahren
  32. Stephan1

    Ein super Video!

    Von Stephan Bayer, vor mehr als 7 Jahren
  33. Alex1

    Ich find wirklich, dass das eine geniale Erklärung des Sin, Cos & Tan ist! Weiter so!

    Von Alexander Weise, vor mehr als 7 Jahren
  34. Gl%c3%bccklichindersprudelfabrik

    Schnell nachvollziehbar.Aber pass auf, dass du nicht zu sehr obenaus dem Bild rutschst

    Von Susi T., vor mehr als 7 Jahren
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