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Transkript Flächenformel des regelmäßigen n-Ecks

Hallo liebe Mathematikfreunde! Hier ist André mit einem Video über den Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks. Ihr solltet als Voraussetzung etwas über Winkelfunktionen gehört haben, damit einige Übungen angestellt haben und bescheid wissen über einige elementare Begriffe der Geometrie. Ich möchte das Problem an einem Quadrat erläutern. Das Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck und kann von einem Kreis umschrieben werden. Wie im Bild links dargestellt, setzt sich der Flächeninhalt des Quadrates aus dem Flächeninhalt 4 gleichschenkeliger Dreiecke zusammen. Der Flächeninhalt des Dreiecks errechnet sich nach der bekannten Dreiecksformel: a×h/2. Die Seitenlänge des Quadrates wird als a bezeichnet. Nun müssen wir nur noch die Höhe bestimmen. Diese erhalten wir, indem wir von der Spitze des Dreiecks vom Punkt M ein Lot auf die Grundseite des Quadrates fällen. Um h durch a auszudrücken, benötigen wir noch den Winkel α, so wie im Bild eingezeichnet. Nun ergibt sich tanα ist der Quotient aus a/2 und h und äquivalent umgeformt: h=a/2×tanα. Setzen wir nun den Ausdruck für h in die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks ein, erhalten wir: (a×a)/2×2×tanα, oder umgeformt, vorletzte Zeile von unten: Flächeninhalt des Dreiecks ist gleich a2/4tanα. Wir erinnern uns nun an die 1. Zeile: Flächeninhalt des Quadrates ist gleich 4× Flächeninhalt Dreieck und erhalten schließlich als Formel, für den Flächeninhalt des Quadrates in der letzten Zeile, a2=a2/tanα. Wie bestimmt man nun α? Wichtig ist für uns nicht nur das Ergebnis, sondern auch die Vorgehensweise. Wenn wir den Vollkreis betrachten, hat er den Winkel von 360°. Es handelt sich um ein Viereck, also muss dieser Winkel durch 4 dividiert werden, zusätzlich müssen wir diesen Winkel nochmals durch 2 teilen und erhalten schließlich α. Für das Quadrat ergibt dies: α=45°. tan(45°)=1, demzufolge ergibt sich, letzte Zeile, Mitte unten, a2=a2. Nun wollen wir unsere Ergebnisse auf ein beliebiges n-Eck übertragen. In diesem Fall ist der Flächeninhalt dieses n-Ecks An=n mal den Flächeninhalt des betreffenden, gleichschenkeligen Dreiecks. Genauso, wie beim Quadrat, ergibt sich hier für den Flächeninhalt ADreieck=a2/4tanα, dieser Ausdruck mit n multipliziert, ergibt schließlich den Flächeninhalt des regelmäßigen n-Ecks: na2/4tanα. Nun muss nur noch der Winkel α in Abhängigkeit von der Seitenzahl des n-Ecks dargestellt werden. α=360° dividiert durch diese Seitenzahl und zusätzlich noch einmal geteilt durch 2. Wir erhalten α=180°/n. Diesen Ausdruck eingesetzt in die erhaltene Formel liefert das endgültige Ergebnis. Die Referenzrechnung für das Quadrat benötigen wir nun nicht mehr. Ich werde sie daher wegwischen. Und stolz können wir präsentieren: An=na2/4tan von (180°/n). Wenden wir nun diese Formel auf ein regelmäßiges Sechseck an. n=6, wir erhalten somit: A6=(6×a2)/(4tan von (180°/6)). 6/4 wird gekürzt, wir erhalten 3/2 und 180°/6=30°. Der tan von 30°=1/\sqrt(3). Und somit erhalten wir: A6=3/2\sqrt(3)×a2. Schaut einmal in eure Formelsammlung hinein, dort werdet ihr auch diese Formel vorfinden. Durch das Fallbeispiel wurde die gefundene Formel bestätigt. So, das war es wieder für heute. Vielleicht konnte ich euch ein wenig helfen und vielleicht hat der eine oder andere ein wenig Freude an der Aufgabe gefunden. Ich wünsche euch alles Gute, viel Erfolg. Na dann bis zum nächsten Mal, tschüss!    

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