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Transkript Relative Häufigkeit und Wahrscheinlichkeitsbegriff (1)

Hallo, es soll um einen Wahrscheinlichkeitsbegriff gehen, und zwar um den Wahrscheinlichkeitsbegriff, der auf relativen Häufigkeiten aufbaut. Oder man sagt auch der frequentistische Wahrscheinlichkeitsbegriff. Was hat es damit auf sich? Ich versuche es so einfach wie möglich, zu erklären. Hier ist ein Stück Schaumstoff. Dieses Stück Schaumstoff hat ihr einen Mantel und hat hier 2 Seiten, die jetzt jeweils so einen roten Ring haben. Da und da. Ja und dieses Stück Schaumstoff kann ich jetzt werfen, oder ich lass das Fallen hier und dann kann es so landen, dass es nicht weiterrollen kann und es kann so landen, dass es weiter rollen kann. So wie jetzt gerade. Ich möchte die Weiterroll-Seite mit dem Ereignis A bezeichnen. Wenn es so landet, oder so, dann möchte ich das als Ereignis B bezeichnen. Und die Frage könnte jetzt sein: Wie wahrscheinlich ist es, dass der Schaumstoff auf einer der B-Seiten landet? Also, dass das Ereignis B eintritt? Also das suchen wir. Und dafür gibt es eine Bezeichnung: nämlich P von, das ist ein großes P, manche schreiben auch ein kleines, aber ich schreibe jetzt ein großes. P (B). Das ist P von B, die Wahrscheinlichkeit von B, so ist das zu lesen. Und die wollen wir jetzt bestimmen. Wie kann man das machen? Es geht ja um die Bestimmung mit relativen Häufigkeiten. Viel anderes können wir jetzt hier auch gar nicht machen. Wir können den Versuch jetzt mehrere Male ausführen, also zum Beispiel 100 Mal und dann können wir zählen, wie oft tritt das Ereignis B auf. Und wenn wir dann die Anzahl des Auftretens von B durch 100 teilen, dann haben wir die relative Häufigkeit für diese Versuchsreihe. Angenommen dieses Ereignis tritt 45 Mal auf von 100 Versuchen, dann ist also die relative Häufigkeit 45÷100, also 0,45. Also könnten wir quasi die Wahrscheinlichkeit mit der relativen Häufigkeit h von B in Zusammenhang bringen. Ich schreibe klein h von B, manche schreiben auch groß H, das ist immer wieder etwas unterschiedlich. Wahrscheinlich werden jetzt auch Leute wild werden und  sagen, dass man das immer groß schreibt und andere werden sagen: "Das ist doch klar, das schreibt man immer klein." Die Bezeichnungen sind unterschiedlich. Jetzt gibt es ein Problem. Wenn wir noch mal 100 Mal werfen würden, dann könnte es wohl sein, dass dieses Ding nicht 45× so landet, sondern vielleicht 50× so landet und dann ist die relative Häufigkeit bei 50/100, also bei 0,50 und nicht bei 0,45 wie vorher. Ja da müssen wir sagen, das kann aber nicht sein. Wir Menschen denken in diesem Kunststoffteil hier, wohnt eine Wahrscheinlichkeit, die ist da drin. Und es kann nur eine Wahrscheinlichkeit sein, die da drin ist. Also dieses Schaumstoffteil hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit auf einer dieser Seiten zu landen. Das Ereignis B hat eine feste Wahrscheinlichkeit, die kann nicht mal so und nicht mal so sein. Wie lösen wir die Sache auf? Wir könnten ja nachdem wir 100 Mal geworfen haben, noch mal 100 Mal werfen und dann die relative Häufigkeit in Vergleich zu 200 Würfen errechnen. Ja, also wenn jetzt bei den ersten 100 Mal Würfel 45 Mal das Ereignis B aufgetreten ist und bei den 2. 100 Mal werfen, 50 Mal das Ereignis B, dann würden wir also 95/200 als relative Häufigkeit haben. Ja, das geht und dann ist es aber immer noch nicht ganz genau, aber wir könnten diesen Vorgang immer weiter fortführen. Wir nehmen immer noch mal 100 Versuche dazu und berechnen dann über die 300 vorliegenden Versuche die relative Häufigkeit. Dann über 400, 500 usw. Und da stellen wir jetzt eine interessante Sache fest, also das lehrt uns auch unsere Erfahrung, die relativen Häufigkeiten, die wir dann immer durch diese Methode ausrechnen, die stabilisieren sich bei einem Wert und schwanken immer weniger. Ist eine reine Erfahrungstatsache oder ein Naturgesetz, wie immer man das sagen will. Ist aber so. So ist die Welt halt. Das kann man mathematisch nicht beweisen, dass sich dieses Ding so verhält, aber wir können das beobachten. Auch bei vielen anderen Dingen könne wir das so beobachten. Und deshalb könnte man ja, die relative Häufigkeit mit der Versuchsanzahl in Verbindung bringen. Deshalb können wir ja schreiben hn (B). n bezeichnet die Versuchsanzahl. Und wenn die dann groß ist, dann sind wir eher geneigt zu sagen, dann hat die relative Häufigkeit mehr was mit der Wahrscheinlichkeit zu tun, als wenn die Versuchanzahl gering ist. Und wenn wir schon mal dabei sind, weil wir uns in der Mathematik befinden und uns etwas ausdenken dürfen, können wir hier sagen, dass wir einfach den Grenzwert bilden für n gegen ∞. Der Limes gegen ∞. Den können wir jetzt rein mathematisch bilden. Ja das ist ein Pfeil hier, das ist die liegende 8, das Unendlichkeitszeichen (∞). n gegen ∞,  der Grenzwert von n gegen ∞ von hn (B). Das könnte die Wahrscheinlichkeit sein. Und das ist tatsächlich diese frquentistische Definition der Wahrscheinlichkeit, der Limes, also der Grenzwert der relativen Häufigkeiten. Wie beobachten, dass relative Häufigkeiten gegen einen bestimmten Wert konvergieren, dass also die relativen Häufigkeiten, die man für einen solchen Wert ausrechnet, immer weniger schwanken. Und wir sagen, der Grenzwert der dann erreicht wird in der Unendlichkeit, das ist die tatsächliche Wahrscheinlichkeit. Ja und warum habe ich vorhin so gegrinst? Wegen zwei Dingen: Ich habe ja gesagt, man kann sich was ausdenken. Das hat natürlich was mit Ausdenken zu tun, weil wir ja nicht in der Lage sind, mit diesem Schaumstoffgerät, diese Definition zu bestätigen, denn wir können nicht unendlich oft werfen. Das geht nicht und deshalb können wir also diese Wahrscheinlichkeit hier niemals bestimmen im Sinne dieser frequentistischen Wahrscheinlichkeitsdefinition. Es gibt Überlegungen darüber, ob in der Zahl π, die ja unendlich viele Nachkommastellen hat, ob in diesen Nachkommastellen dieser Zahl eine Zufallsverteilung verborgen ist. Und dann hätten wir schon unendlich viele Stellen und könnten darüber Aussagen machen. Also da gibt es viele interessante Ergebnisse, wahrscheinlich in der nächsten Zeit noch. Da möchte ich jetzt aber nicht weiter drauf eingehen, denn am Anfang der Wahrscheinlichkeitsrechnung braucht man sich darüber erst einmal keine Gedanken zu machen. Hier also mit diesem konkreten Objekt und mit vielen anderen konkreten Objekten und Zufallsversuchen können wir die Wahrscheinlichkeit auf diese Weise tatsächlich nicht bestimmen, wir können sie nicht exakt angeben. Wir haben aber eine Vorstellung davon, weil wir aus Erfahrung wissen, dass sich relative Häufigkeiten stabilisieren. 2. Punkt: Es kommt aber auch noch dicker. Nicht nur, dass wir das nicht exakt bestimmen können, wir wissen auch nicht, wann wir nah dran sind. Und das ist etwas, dass dann in der Alltagslogik häufig nicht beachtet wird. Vielleicht auch nicht unbedingt beachtet werden muss, aber ich will das Problem kurz schildern: Wenn wir jetzt mit dem Ding hier 10.000 Mal geworfen haben, dann könnte es sein, dass wir sehr sehr nah an der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B liegen.  Es könnte aber auch sein, dass wir weit weg sind davon. Angenommen wir haben eine relative Häufigkeit von genau 1/2. Angenommen wir haben 10.000 Mal geworfen und 5000 Mal ist das Ereignis B eingetreten. Dann könnte es aber trotzdem sein, dass die Wahrscheinlichkeit die hier für das Ereignis B drin ist,  dass das 0,9 ist. Ja, das ist möglich. Und auch wenn wir das 100.000 Mal gemacht haben, wissen wir in diesem konkreten Fall nicht, ob wir jetzt schon ganz nah dran sind, oder nicht. Und das können wir für keine Versuchsanzahl bestimmen. Wir können zwar wiederum mit Wahrscheinlichkeiten rechnen, wir können auch, wenn wir eine exakte Wahrscheinlichkeitsdefinition über andere Wege haben, etwas darüber sagen, wie wahrscheinlich es ist, dass wir nicht in der Nähe sind. Das geht schon. Konkret aber können wir es nicht wissen. Also 1. können wir die Wahrscheinlichkeit nicht exakt angeben. 2. wissen wir niemals, wie nah wir an der tatsächlichen Wahrscheinlichkeit dran sind. Aber diese Definition spiegelt eine Erfahrungstatsache wieder. Und wenn wir so ein Objekt vor uns haben, wie auch bei vielen anderen Objekten und Situationen, dann bleibt uns keine andere Möglichkeit als relative Häufigkeiten zu bilden und zu hoffen, dass wir durch solche relativen Häufigkeiten der Wahrscheinlichkeit relativ nahe kommen. Viel Spaß damit trotzdem, tschüs.    

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