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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Straßenstück

Hallo! Es gibt eine Parameteraufgabe, oder auch wie man sagt, Rekonstruktionsaufgabe, die sehr häufig vorkommt in ganz vielen, verschiedenen Variationen. Und da lohnt es sich, mal eine Systematik zu zu zeigen. Es geht um folgendes: Wir haben 2 gerade Stücke hier, will ich mal ganz allgemein sagen. Oder gerade Stücke kann man auch sagen. Das sollen zum Beispiel Straßen sein, 2 Straßenstücke, und dazwischen ist nichts. Und da soll man jetzt eine Straße konstruieren. Oder es heißt auch oft Trassenführung, oder Trassenführung einer Eisenbahnlinie. Die soll jetzt also dazwischen konstruiert werden. Die Frage ist, wie macht man das? Wir brauchen Gleichungen. Zunächst mal brauchen wir die Gleichung f von x1=y1. Warum? Ich habe hier x1 und y1 hingeschrieben. Das ist der Endpunkt dieses geraden Stücks hier. Und wenn da sich die Straße anschließen soll, dann muss natürlich hier der Funktionswert unserer Funktion, die wir konstruieren wollen, in dem Punkt mit dieser anderen Straße hier, mit dem geraden Stück, gleich sein. Das ist ebenso bei dem anderen Stück hier der Fall. Das heißt, wir haben f von x2=y2. Weitere Gleichungen ergeben sich aus der Überlegung, dass man ja diese Anschlüsse hier knickfrei haben möchte. Um einen Knick kann man nicht so gut herumfahren. Straßen und auch Eisenbahnlinien werden normalerweise ohne Knick gebaut und deshalb wissen wir, dass die Steigung der Funktion, die wir konstruieren, in diesem Punkt, in diesem Punkt hier mit diesem geraden Stück, übereinstimmen muss. Und hier gilt das Gleiche. Diese Steigung muss an die Steigung der Funktion, die wir konstruieren, muss hier in diesem Punkt so groß sein wie die Steigung dieser geraden Strecke. Ich sage einfach mal, dass diese Steigung hier m1 ist, und diese Steigung ist m2. Das kann man irgendwo aus dem Sachzusammenhang in dieser Aufgabe meistens entnehmen. Also haben wir, dass die Ableitung von f an der Stelle x1, gleich m1 ist. Und die Ableitung von f an der Stelle x2 ist gleich m2. Und oftmals ist es der Fall, dass jetzt hier die Sache endet und man kann jetzt einfach eine Funktion konstruieren. Das wäre dann eine Funktion 3. Grades. Du weißt ja, eine Funktion 3. Grades hat in der Normalform 4 Variablen. Das heißt ja dann f(x)=a×x3+b×x2+c×x+d. Das sind 4 Variablen. Du hast 4 Gleichungen, und kannst die Funktion 3. Grades dann konstruieren. Aber oft kommt auch noch eine weitere Bedingung mit hinzu, und zwar, nicht nur die Knickfreiheit, sondern die Krümmungsradien sollen auch angepasst werden. Und da möchte ich ein, zwei Worte zu verlieren, weil das immer so dieser Punkt ist, wo dann die Schwierigkeit auftaucht. Wo man sich sagt, „Was wollen die da eigentlich? Warum Krümmungsradius?“. Folgende Situation haben wir. Das ist jetzt aus einer Holzeisenbahn hier entnommen. Ich habe hier ein gerades Stück und ich habe ein Kurvenstück. Die Holzeisenbahn kann auf so einer Trassenführung fahren, ein richtiger Zug könnte das nicht. Und wir könnten auch mit einem Auto, oder einem Fahrrad, oder einem Motorrad, um so eine Kurve, um so ein Straßenstück, nicht entlang fahren. Warum? Folgende Situation: Wenn wir auf diesem Straßenstück fahren, das ja schnurgerade verläuft, und wir fahren mit dem Auto, dann halten wir das Lenkrad so zum Beispiel. Wenn wir auf diesem Kurvenstück fahren, halten wir das Lenkrad zum Beispiel so. Wenn diese beiden Stücke sich direkt aneinander anschießen würden, dann fahren wir hier lang, zum Beispiel, halten das Lenkrad so, und müssten dann, wenn wir auf diese Kurve kommen, und zwar genau exakt an diesem Punkt, das Lenkrad plötzlich so halten, damit wir um die Kurve fahren können. Das wär jetzt andersrum, ich lenk jetzt verkehrt herum, ist egal, aber du weißt, was ich meine. Man müsste genau zu diesem Punkt hier, da, wo die beiden sich anschließen, von hier nach da kommen, ohne Zeitverlust. Und das geht nicht! Deshalb muss der Krümmungsradius, der ja hier überall gleich ist, der muss sich anpassen an diese Gerade, das heißt, diese Kurve muss quasi so, sich so ausrollen irgendwie. Ich weiß nicht, wie man das schön sagen soll. Der Krümmungsradius muss hier immer größer werden und sich quasi der Unendlichkeit anpassen. Denn hier kann man sagen, auf einem geraden Stück, ist der Krümmungsradius unendlich. Welche Funktion sagt uns etwas über den Krümmungsradius? Es ist die 2. Ableitung dieser Funktion, denn die 2. Ableitung sagt etwas darüber aus, wie schnell sich die Steigung ändert. So kann man das sagen. Oder wie schnell sich die Steigung dieser Funktion ändert. Wenn sie sich schnell ändert, ist die Krümmung stark, dann ist es stark gekrümmt, und wenn sie sich nicht schnell ändert, ist sie nicht stark gekrümmt. So ungefähr stimmt das. Man kann es nicht ganz 1:1 umrechnen, aber das ist so grob, wie man das verstehen kann. Deshalb, wenn sich also der Krümmungsradius hier anpassen soll, dann muss er hier, an diesen Punkten da und da, unendlich sein, das heißt, die Ableitung, die 2. Ableitung,...Ich wollte eigentlich mit x1 weitermachen. Wär auch egal gewesen, aber für die Reihenfolge. Die 2. Ableitung muss gleich 0 sein bei x1 und sie muss auch gleich 0 sein bei x2. Und das sieht dann so aus. Und dann braucht man eine Funktion 5. Grades. Wir haben 6 Gleichungen, deshalb brauchen wir eine Funktion 5. Grades, um diese Sache hier zu modellieren. Und dann kann man auch vernünftig auf dieser Straße Auto fahren. Viel Spaß damit. Tschüss!

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