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Transkript Rekonstruktion ganzrationaler Funktionen – Funktion vierten Grades

Hallo! Hier ist eine Parameteraufgabe, Steckbriefaufgabe oder auch Funktionsbestimmungsaufgabe, die ein bisschen anders funktioniert. Man soll nämlich hier zeigen, dass eine Funktion mit den gegebenen Eigenschaften gar nicht existieren kann. Gekommen bin ich auf diese Aufgabe übrigens, weil ich ein Schulbuch gefunden habe, in dem quasi diese Aufgabe steht, und man soll eine Funktion finden, die diese Eigenschaften hat. In einem anderen Schulbuch habe ich gefunden, dass man eben beweisen soll, dass es eine solche Funktion gar nicht geben kann. Was davon zu halten ist, weißt du selber, muss ich hier nicht weiter erläutern. Also, wir haben gegebene Eigenschaften. Und zwar soll es um eine symmetrische Funktion 4. Grades gehen und es soll gelten, dass die Extremstelle xe=2 ist, das heißt, bei der Stelle 2 befindet sich ein Extremum. Wir wissen nicht, ob es ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist. Und bei der Stelle x=1 existiert eine Wendestelle, xw für Wendestelle, also xw=1. Die Frage ist: Kann es so was geben? Die Antwort ist: nein. Und warum kann es so was nicht geben? Das gucken wir uns folgendermaßen an. Ich habe erst mal hier eine achsensymmetrische Funktion 4. Grades aufgeschrieben, eine punktsymmetrische Funktion 4. Grades gibt es ja sowieso nicht: ax4+bx²+c ist die allgemeine Form einer ganzrationalen Funktion 4. Grades, die achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Es geht ja hier bei der Achsensymmetrie immer um die Symmetrie zur y-Achse. Die allgemeine Ableitung davon ist f'(x)=4ax³+2bx, zweite Ableitung ist f''(x)=12ax²+2b. Ja, wenn du es nicht ganz lesen kannst, kannst du in den angefügten Dateien gucken, oder über den Link, da kannst du das noch mal als Foto sehen alles. Wie geht man da vor? Ich habe mich für folgendes Verfahren entschieden, es gibt ja mehrere, wie man jetzt vorgehen kann, ich möchte mal Folgendes zeigen. Ich habe jetzt einfach mal ganz allgemein xe, also die Extremstelle, der x-Wert, an dem sich das Extremum befindet, in die erste Ableitung eingesetzt. Die erste Ableitung muss an dieser Stelle 0 sein, und deshalb kann man schreiben: 4a×xe3+2×b×xe=0. Das kann man nun nach xe auflösen, ja, um a und b kümmere ich mich nicht weiter. Wenn man das jetzt nach xe auflösen möchte, kann man zunächst mal ein xe ausklammern, das bedeutet, xe könnte entweder 0 sein oder es könnte auch sein, dass xe=±\sqrt(-b/(2a)) ist. Das ist auf jeden Fall der Fall, wenn wir eine symmetrische Funktion 4. Grades haben, die irgendwo ein Extremum hat, an irgendeiner Stelle, dann ist das hier immer erfüllt. Wenn wir eine symmetrische Funktion 4. Grades haben, die eine Wendestelle hat, dann gilt für diese Wendestelle ganz allgemein, dass man die jetzt hier in die 2. Ableitung einsetzen kann und dann ist die 2. Ableitung gleich 0. Konkret heißt das hier für uns: 12×xw²+2b=0. Und das ist genau dann der Fall, wenn xw=± \sqrt(-b/(6a)) ist. Jetzt habe ich mir mal den Spaß gemacht, dass ich hier bemerke, -b/(2a) ist so ähnlich wie -b/(6a). Und man kann hier quasi die 3 aus der Wurzel rausholen, dann hat man \sqrt(1/3) oder 1/\sqrt3 davorstehen, das sind die Wurzelgesetze, das zeige ich jetzt nicht alles im Einzelnen, und dann bekommen wir noch \sqrt(-b/(2a)). Was bringt uns das jetzt? Wir wissen ganz allgemein, dass die Wendestelle immer das 1/\sqrt3-fache der Extremstelle ist. Da. Mit ± muss man das natürlich auch noch machen, das Lasse ich jetzt mal weg, ich kümmere mich jetzt hier erst mal um die Beträge. Also wenn man hier die Extremstelle mit 1/\sqrt3 multipliziert, da ist ja die Extremstelle, das ist ja gleich, dann erhält man die Wendestelle. So, und das bedeutet: Hier sehen wir, wenn wir die Wendestelle mit 2 multiplizieren, erhalten wir die Extremstelle - bzw. wenn wir die Extremstelle mit ½ multiplizieren, erhalten wir die Wendestelle. Also das steht hier in der Bedingung und das kann natürlich nicht sein, denn wir wissen, wir müssen die Extremstelle mit 1/\sqrt3 multiplizieren und nicht mit ½, um auf die Wendestelle zu kommen. Ja, das ist eine Möglichkeit, wie man das nachweisen kann, dass das hier also nicht funktionieren kann. Und damit soll es erst mal genug sein. Auch das ist eine der Standardaufgaben, dass man eben beweisen soll, dass Funktionen nicht existieren können. Viel Spaß damit. Tschüss!

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