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Transkript Quadratische Gleichungen – Übung 3

Hallo, ein Großteil, zumindest ein erkläglicher Teil der Textaufgaben, die du zu quadratischen Gleichungen gestellt bekommst, haben mit Quadraten und Rechtecken zu tun. Und deshalb hab ich hier mal eine Kuchenform vorbereitet, die ist rechteckig. Wenn ich das so hinlege, sieht man die Seiten nicht so gut. Ich leg das mal so hin. Und die Aufgabe dazu lautet: Verlängert man 2 gegenüberliegende Seiten eines Quadrates um 2 cm und verlängert man die anderen beiden Seiten jeweils um 5 cm, dann entsteht ein Rechteck mit der Fläche von 70 cm². Welche Seitenlänge hat das Quadrat? Das möchte ich jetzt mal vormachen. Du kannst das natürlich auch, wenn du gerade mal so eine Kuchenform nicht zur Hand hast, zeichnen. Du kannst ein Quadrat zeichnen und dann die Seitenlängen verlängern. Ich mache das hier mal mit meiner lustigen Form. Also, gemeint ist Folgendes. Wir haben zunächst ein Quadrat. Ja, das ist ungefähr ein Quadrat, nur um sich das mal vorzustellen. Übrigens, ein Quadrat muss nicht so aussehen, auch das ist ein Quadrat. Ich wollte es nur noch einmal sagen, weil das öfter zu Schwierigkeiten führt. Manche Leute sagen ja, das ist eine Raute und das ist ein Quadrat. Also um das noch mal in Erinnerung zurückzurufen. Eine Raute ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten. Ein Quadrat ist ein Viereck mit gleichlangen Seiten und rechten Winkeln. Also ein Quadrat ist quasi eine Raute mit lauter rechten Winkeln. Eine rechtwinklige Raute kann man auch sagen. Das ist unabhängig von der Position auf dem Tisch oder auf dem Blatt Papier. Auch das ist ein Quadrat und das und das. Wollte ich nur noch mal gesagt haben. Also, ein Quadrat, hier sind 2 gegenüberliegende Seiten. Die könnte ich verlängern um 2 cm. Zum Beispiel so. Das waren jetzt etwas mehr als 2 cm, ist aber egal, dann siehst du es besser. Dann kann ich die anderen beiden Seiten, nämlich diese beiden hier, die auch gegenüberliegen, um 5 cm verlängern. So zum Beispiel. Dann ist fast wieder ein Quadrat herausgekommen, das wollte ich nicht. Also noch mal von vorne. Das ist ein Quadrat, das ist kein Quadrat, aber das ist ein Quadrat, ungefähr. Ich verlängere jetzt die beiden Seiten um 2 und die beiden um 5. So ungefähr. Das waren auch etwas mehr als 5, aber das dient nur zur Veranschaulichung. Und hier kommt jetzt also ein Rechteck heraus. Wir wissen, das dieses Rechteck eine Fläche von 70 cm² haben soll. Worum es mir geht, das du diese Sachen hier, diese Verschiebungen im Kopf machen kannst. Deshalb wollte ich sie zeigen. Das ist die Sache, wenn man Quadrate verlängert der irgendwann auch verkürzt. Quadratseiten meine ich. Das ist damit gemeint. Wie rechnet man die Sache jetzt? Da kann ich mich kurzfassen, wenn du dir das Vorstellen kannst. Wir haben eine Quadratseite, die soll X cm groß sein. Die wird um 2 cm verlängert, oder die beiden gegenüberliegenden Seiten. Dann haben wir eine weitere Quadratseite, die heißt natürlich auch X und ist natürlich genau so groß. Die wird um 5 cm verlängert. Und um den Flächeninhalt raus zu bekommen, des nun entstandenen Rechtecks, muss ich rechnen, die eine Seite mal die andere Seite. a×b, das mache ich hier. Und dann soll da 70 rauskommen. Und das steht hier. Na wer hätte das gedacht, dass ist eine quadratische Gleichung. Und ich darf hier gleich einmal die Termumformung machen, damit ich die Normalform bekomme und dann die pq-Formel anwenden kann. Einmal die Termumformung bezieht sich hier auf das ausmultiplizieren, das heißt, wir haben x×x=x², 2×x=2x, x×5=5x, zusammen sind es 7x. 2×5=10. Und dann möchte ich noch auf beiden Seiten 70 subtrahieren, damit hier die 0 steht. 10-70=-60 und das ist gleich 0. Da haben wir also die Normalform einer quadratischen Gleichung. Jetzt kann ich die pq-Formel anwenden. x1,2=-p/2. p ist in unserem Fall hier 7. -p/2 ist also -3,5, das schreibe ich direkt hin, nicht mehr als Bruch. Und dann haben wir ±\sqrt3,5², also p/2² heißt es ja, +60, q ist ja -60, -q dem entsprechend +60. Und das bleibt dann hier stehen. Und  wir haben dann -3,5 und das kann man auch wieder im Kopf ausrechnen, 3,5² kann man mit binomischer Formel ausrechnen, das ist 3+0,5², also 3×3+3+0,5², 3×3=9+3=12 und 0,25 ist 0,5². Im Ganzen stehen hier also 12,5+60=72,5. Und auch das hab ich schon mal heimlich vorbereitet. 72,25, ich glaube ich hab 72,5 gesagt. 72,25 das meine ich. Ich habs hier schon mal vorbereitet. 8²=64, 2×0,5=1×8=8, 64+8=72, 0,5²=0,25. Hier steht dann also letzten Endes 8,5², oder weil das hier die andere Seite der binomischen Formel ist, 8+0,5². Und das ist dann also 72,25. also weiß ich, dass hier ±8,5 raus kommt. Du kannst das natürlich auch mit dem Taschenrechner machen, aber wenns schon mal die Gelegenheit ist, das zu zeigen, dann zeige ich das auch gerne. Jetzt haben wir also die eine Lösung hier, x1=-3,5+8,5=5 und -3,5-8,5 interessiert mich nicht, denn das ist nicht Element der natürlichen Zahlen, bzw. es ist x2<0. Und da es um ein reales Quadrat geht, kann dieses Quadrat keine Seitenlänge haben, die kleiner als 0 ist. Und deshalb fällt diese Lösung hier raus. Ja, dann kann man eben noch mal nachrechnen, ob das stimmt. Ob x diese Gleichung löst. x soll  sein, also wenn du hier  einsetzt, dann steht hier 5+2=7, 5+5=10, 7×10=70. Also haben wir richtig gerechnet. Und im übrigen, diese Form hier hat niemals, egal wie ich sie drehe und wende, eine Fläche von 70 cm². Die ist viel größer. Aber es ging ja um die Veranschaulichung. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

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1 Kommentar
  1. 2011 12 31%2014.52.05%20 %202

    sehr informativ...;-)

    Von Marc H., vor fast 7 Jahren