Normalverteilung 11:51 min

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Transkript Normalverteilung

Die Normalverteilung Zum Beispiel der Durchschnittseuropäer: er ist im Schnitt 1,72m groß. Aber es gibt auch Europäer, die sind kleiner als 1,72m und größer als 1,72m. Wir machen eine Funktion über den Durchschnittseuropäer. 1,60m, 1,84m an den Seiten. Das sind die absoluten Häufigkeiten. Wir sehen eine Glockenform. Die Glockenform ist die typische Form der Normalverteilung. Die Größe des Europäers ist also normal verteilt. Typisch zur Darstellung einer normal verteilten Variable ist das Zeichnen einer Dichtefunktion. Die Dichtefunktion gibt für jeden Wert von x an, die Wahrscheinlichkeit, mit der er Auftreten wird. Das Integral unter der Dichtefunktion muss natürlich 1 sein. Also, noch mal für Alle: Die Größe ist normal verteilt, und der Durchschnittseuropäer ist 1,72m groß. Deshalb hat die Dichtefunktion dort ihren Höhepunkt. Aber was bedeutet das eigentlich für uns jetzt? Noch einmal die Dichtefunktion der Normalverteilung. An ihr sehen wir 2 wichtige Eigenschaften. 1., die Dichtefunktion oder die Normalverteilung ist stetig, d.h., wir können die Wahrscheinlichkeit mit einem Stift abtragen, ohne ihn abzusetzen. Es finden keine Sprünge statt. Außerdem ist die Dichtefunktion symmetrisch. D.h., links vom Durchschnittspunkt, also 1,72m, finden sich genauso viele Europäer wie rechts davon. 172 cm ist also der Mittelwert unserer Normalverteilung der Größe. Noch ein Beispiel: Es gibt einen Wirt. Er hat eine Kneipe. Und der Wirt weiß ganz genau, die Biere, die er an einem Abend verkauft, sind normal verteilt. Nennen wir sie die Bierverteilung des Wirtes. Das bedeutet, der Wirt weiß, er verkauft im Durchschnitt 80 Biere. Das ist der Mittelwert seiner Normalverteilung, μ. Jede Normalverteilung wird aber über 2 Parameter bestimmt. μ und die Standardabweichung. Sie beträgt in seinem Fall 20. D.h., an unserer x-Achse ergeben sich die Werte 60, 80 und 100. Die Standardabweichung ist 20. Die 1. Frage, die sich der Wirt stellt: „Werde ich heute genau 80 Biere verkaufen?“ Die Antwort ist ganz einfach. Das Integral unter einem Punkt ist 0, d.h., die Wahrscheinlichkeit, dass der Wirt heute genau 80 Biere verkauft, ist 0. Das liegt an der Stetigkeit der Normalverteilung. Als nächstes stellt sich der Wirt die Frage: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich heute weniger als 80 Biere verkaufe?“ Mal sehen. Da μ=80 der Mittelwert seiner Bierverteilung ist und die Normalverteilung symmetrisch ist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis links davon eintritt genauso wahrscheinlich, wie dass ein Ereignis rechts davon eintritt. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass er weniger als 80 Biere verkauft, genau 0,5, also 50%. Diese Tatsache beschreibt eine wichtige Eigenschaft der Normalverteilung, die Symmetrie. „Logisch einwandfrei,“, denkt sich unser Wirt, „aber wie beweise ich das mathematisch? Wie errechne ich Wahrscheinlichkeiten einer Normalverteilung mathematisch?“ Auftritt Frau des Wirtes. Die Frau des Wirtes weiß natürlich ganz genau, wie sich die Funktion der Normalverteilung berechnen lässt und wie man damit die Wahrscheinlichkeiten gewinnt. Nur, dem Wirt ist das natürlich viel zu kompliziert, und uns auch. Deshalb benutzen wir Verteilungstabellen. Doch bevor wir die Verteilungstabelle benutzen können, müssen wir kurz auf die Standardnormalverteilung zu sprechen kommen. Die Standardnormalverteilung ist nichts anderes, als eine Normalverteilung, die immer den Mittelwert μ=0 hat, die Standardabweichung und auch die Varianz gleich 1. Sie hat praktisch keine andere Funktion, als dass sie stellvertretend für alle anderen Normalverteilungen in der Verteilungstabelle abgebildet ist. Die Standardisierung, um aus einer Normalverteilung eine Standardnormalverteilung zu machen, ist ganz einfach. Wir haben die Werte μ und ω. ω ist die Standardabweichung. Wir rechnen: z=(x-μ)/ω. Der Wirt stellt sich nun folgende Frage: „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich heute weniger als 100 Biere verkaufe?“ Die 100 Biere, das ist das x. Wir setzen die 3 Werte ein. Das Ergebnis ist der z-Wert; z=1. Wir wissen nun also, die Wahrscheinlichkeit, dass x<100, der Wirt also weniger als 100 Biere verkauft, entspricht z≤1. Φ ist die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Da z=1, müssen wir in der Verteilungsfunktion nach Φ(1) suchen. Der Φ-Wert gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis links des x-Wertes eintritt. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit kleiner 1. Die Wahrscheinlichkeit ist in unserem Beispiel grün markiert. Jetzt brauchen wir einen Blick in die Verteilungstabelle der Standardnormalverteilung. An der Seite und oben finden sich jeweils die Φ-Werte bis auf die 2. Dezimalstelle. Also, wo finde ich Φ(1)? Auftritt Nr. 2, die Wirtin. Die Wirtin weiß natürlich, Φ(1) entspricht Φ(1,00). Also, wir sehen einfach in der Verteilungstabelle unter 1,0 und 0,00. Und dort finden wir die Wahrscheinlichkeit 0,841345. Und da die Wahrscheinlichkeit, dass z≤1 ist, genau dasselbe ist wie x≤100, der Wirt also weniger oder gleich 100 Biere verkauft, ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit von 0,84 oder 84,13%. Unser Wirt hat nun aber eine neue Frage an seine kluge Frau. „Wie groß ist denn die Wahrscheinlichkeit, dass ich heute zwischen 70 und 100 Biere verkaufe?“ Also p(70≤x≤100). Es ist also der Wert unter der Dichtefunktion gesucht zwischen 70 und 100, und wir wissen, die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als 100 Biere sind, ist F(100)=Φ(1)=0,84 ungefähr. Die andere Frage ist: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger als 70 Biere sind? Also F(70), die wir von den F(100) abziehen müssen. Wir wissen nämlich, die Wahrscheinlichkeit, die gesucht ist, ist das x≤100-x≤70. Dies entspricht in der Verteilungsfunktion F(100)-F(70), da es sich dabei ja um die kumulierten Wahrscheinlichkeiten handelt. Also, Φ(1)-, und jetzt dieselbe Rechnung wie vorher. Der gesuchte z-Wert ist (70-80)/20=-1/2. Also Φ(-1/2). Da jedoch in der Verteilungstabelle nur die positiven Φ-Werte ausgegeben werden, machen wir uns die Symmetrie zunutze. Wir rechnen: 1-Φ(+1/2), da rechts von +1/2 genauso viel liegt wie links von -1/2. So, jetzt genügt ein einfacher Blick in die Tabelle, ein bisschen Rechnerei, und schon haben wir das Ergebnis. Wir rechnen Φ(1)-Φ(-1/2) und erhalten am Ende 53,28%. Der Wirt hat noch eine letzte Aufgabe. Es geschah gestern. Er rechnete für morgen die Werte aus und er wusste noch ganz genau, der z-Wert war größer 2. Seine Frau schmeißt leider die Formulare weg, in die Tonne. D.h., er hat nur noch diesen z-Wert, z>2, und der Wirt fragt sich nun natürlich: „Wie viele Biere sind das?“ Der Wirt weiß, heute wird er auf jeden Fall mehr Bier als z=2 verkaufen. Also z≥2. Nun, wie viele Biere sind das jetzt? Wir benutzen dieselbe Formel wie vorher, wir müssen sie nur etwas umstellen. Hier ist die Formel: z=(x-μ)/Standardabweichung, ergibt sich 2=(x-80)/20. Wir stellen das Ganze ganz einfach um, es ergibt sich 40+80=x, x ist also gleich 120, und da z≥2 war, muss x≥120 sein. Was bedeutet das nun für den Wirt? Das bedeutet für ihn ganz einfach, er wird auf jeden Fall mehr oder gleich 120 Bier verkaufen, was ihn natürlich freut. Und seine Frau natürlich auch. Und der Wirt und die Frau bedanken sich bei euch für das Interesse und sagen Tschüss!

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8 Kommentare
  1. Giuliano test

    @Aliyanage:
    Bei der beschreibenden Statistik wird auch der Buchstabe s für die Standardabweichung (und s² für die Varianz) verwendet. Üblicherweise wird bei der Normalverteilung Sigma für die Standardabweichung (und Sigma² für die Varianz) verwendet. Sigma ist aber nichts anderes als das griechische Gegenstück zu unserem deutschen Buchstaben s. Daher kann man beide Buchstaben benutzen. Wichtig ist nur, dass man diese Benennung dann beibehält. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
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    Sollte beim Beispiel mit dem Wirt, nicht sigma verwendet werden da mu benutzt wird?

    Von Aliyanage, vor fast 2 Jahren
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    Absolut klasse! Wünsche mir mehr Videos von Chriwe!!! Er trifft immer exakt ins Schwarze. Das kann man nicht von allen Tutoren hier behaupten...

    Von Cuibono, vor mehr als 3 Jahren
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    Wirklich gelungen!

    Von Doedoeoeoe, vor mehr als 3 Jahren
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    wirklich sehr gutes video. hat mir sehr geholfen - danke!

    Von Die Petra, vor fast 6 Jahren
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    und was wenn er doch 80 Biere verkauft? Herzinfarkt?
    gutes Video, aber das konnte ich nciht nachvollziehen.

    Von Jodre, vor fast 6 Jahren
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    Die Erklärung ist wirklich sehr gut in diesem Video.

    Von Deleted User 8316, vor fast 7 Jahren
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    In so kurzer Zeit das Wesen der Normalverteilung auf den Punkt zu bringen finde ich prima! Und die Biere machen das ganze sehr studentenfreundlich :)
    Mich hat einzig das Omega als Standardabweichungs-/Varianzssymbol irritiert, da mir stets das kleine Sigma als Symbol für die Std.abw. beigebracht wurde.

    Von The Maximum Likelihood, vor etwa 7 Jahren
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