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Transkript Lösen von Extremwertproblemen

Hallo, schön, dass du mal wieder da bist. Du kannst mir heute bei einem großen Problem helfen. Eine renommierte Getränkefirma - die ihren Namen hier nicht preisgeben möchte – will eine neue Dose Cola entwickeln. Sie soll 300 ml Inhalt fassen aber möglichst wenig Blech verbrauchen. Auf diese Weise sollen bei der Produktion der Dosen die Kosten minimiert werden.

Diese Aufgabe führt zu einem Extremwertproblem. Das ist ein mathematisches Problem, bei dem ein möglichst großer oder möglichst kleiner Wert gesucht wird. In unserem Beispiel haben wir ein Volumen vorgegeben und suchen dazu eine Dose, bei der möglichst wenig Blech verbraucht wird.

Dazu gehen wir folgendermaßen vor:

  • Wir formulieren das Problem aus mathematischer Perpektive,
  • ermitteln die Zielfunktion,
  • bestimmen den gesuchten Extremwert
  • und sichern das Ergebnis.

Formulierung des Extremwertproblems

Damit wir uns mit dem Problem auseinandersetzen können, müssen wir es also zuerst mathematisch formulieren. Eine Dose ist zylinderförmig. Deshalb können wir hier die Volumenformel und die Oberflächenformel vom Zylinder verwenden.

Für die Oberfläche der Dose gilt: O gleich 2 mal die Grundfläche G addiert mit dem Mantel. Ausgeschrieben ist das 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 2 mal Pi mal r mal h. Gesucht ist die kleinste Oberfläche - wir nennen sie O Stern. Für das Volumen gilt: V gleich Pi mal r hoch 2 mal h. Vorgegeben ist, dass die Dose 300 ml fassen soll.

Zielfunktion ermitteln

Für die weitere Berechnung müssen wir eine Größe als Variable bestimmen. In diesem Fall können wir zwischen dem Radius r und der Höhe h wählen. Ich möchte mich für den Radius r entscheiden. In der Abhängigkeit der Variablen r berechnen wir nun die Oberfläche O von r der Dose.

Da nach der minimalen Oberfläche gefragt ist, ist die Oberflächenformel auch unsere Zielfunktion. Sie wird auch Hauptbedingung genannt. O von r gleich zwei mal pi mal r hoch 2 + zwei mal pi mal h mal r.

Neben der Oberflächenfunktion haben wir - nicht zu vergessen - auch noch die Vorgabe, dass das Volumen 300 ml fassen soll. Dies stellt die Nebenbedingung dar.

Wenn wir die Funktionsgleichung der Zielfunktion genau betrachten fällt auf, dass sie neben der Variablen r auch die Variable h enthalten ist. Für die Berechnung des Minimums ist die natürlich störend.

Da wir aber zwei Gleichungen mit jeweils zwei Variablen haben, wenden wir zur weiteren Berechnung das Einsetzungsverfahen an und stellen die Gleichung der Nebenbedingung nach h um: Pi mal r hoch 2 mal gleich 300.

Dafür dividieren wir die Gleichung durch Pi mal r hoch 2 und erhalten h gleich 300 durch Pi mal r hoch 2. Diesen Term setzen wir nun für h in die Zielfunktion ein und erhalten: O gleich 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 2 mal Pi mal 300 durch Pi mal r hoch 2 mal r. Hier kann man nun kürzen und wir erhalten O gleich 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 600 durch r

Diese Zielfunktion hat nun nur noch die Unbekannte r. Damit können wir also weiterarbeiten.

Bestimmen des gesuchten Extremwerts

Im nächsten Schritt wollen wir den gesuchten Extremwert bestimmen. Extremwerte einer Funktion sind deren Hochpunkte oder Tiefpunkte. Gesucht ist die Stelle r Stern an der unsere Zielfunktion O von r einen Tiefpunkt hat.

Als notwendige Bedingung für eine Extremstelle muss erfüllt sein, dass die erste Ableitung an der Stelle null ist, und als hinreichende Bedingung, dass die zweite Ableitung an der Stelle ungleich null ist.

Als erstes leiten wir deshalb die Zielfunktion O von x zweimal ab. O Strich von r ist gleich 4 mal Pi mal r minus 600 durch r hoch 2 und O Strich Strich von r ist gleich 4 mal pi + 1200 durch r hoch 3.

Um zu ermitteln, an welcher Stelle r Stern die erste Ableitung gleich 0 wird, setzen wir die erste Ableitung gleich null. Null gleich 4 mal Pi mal r Stern minus 600 durch r Stern hoch 2. Zunächst addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung 600 durch r Stern hoch 2 und erhalten 600 durch r Stern hoch 2 gleich 4 mal Pi mal r Stern.

Nun multiplizieren wir die Gleichung mit r Stern hoch 2 und erhalten 600 gleich 4 mal pi mal r Stern hoch 3. Dann dividieren die Gleichung durch 4 mal Pi und erhalten 150 durch pi = r Stern hoch 3. Abschließend müssen wir dann nur noch die dritte Wurzel ziehen und erhalten für r Stern: r Stern ist gleich die dritte Wurzel aus 150 durch Pi.

Damit wir uns sicher sein können, dass an dieser Stelle die Funktion O von x einen Tiefpunkt hat, muss überprüft werden, ob die hinreichende Bedingung erfüllt ist.

In die zweite Ableitung der Zielfunktion O zwei Strich von r gleich 4 mal Pi plus 1200 durch r hoch 3 setzen wir den Wert r Stern ein. Wir erhalten für O zwei Strich von der dritten Wurzel von 150 durch pi gleich 4 mal Pi plus 1200 durch 150 durch pi. Das ist gleich 4 mal pi + 8 mal pi, gleich 12 mal Pi. Dies ist größer als Null. Das heißt wir haben gezeigt, dass an der Stelle r Stern gleich die dritte Wurzel aus 150 durch pi die Zielfunktion O von x einen Tiefpunkt besitzt.

Was aber besagt dieser Tiefpunkt an der Stelle r Stern. Die Funktionswerte der Funktion O von r stellt die Oberfläche der Dose in Abhängigkeit des Radius dar.

Sicherung des Ergebnisses

Wir haben durch die Extremwertermittlung ermittelt, dass die Oberfläche der Dose bei einem Radius r Stern minimal ist und damit bei der Herstellung am wenigsten Blech verbraucht wird. Wir halten also fest der gesuchte Radius ist die dritte Wurzel von 150 durch pi. Das sind gerundet 3,63 cm.

Nun müssen wir lediglich die dazugehörige Höhe h Stern berechnen. Dazu setzen wir r Stern = in den Term der Nebenbedingung - also h Stern = 300r*2 - ein. Für die Höhe erhalten wir damit einen Wert von etwa 7,25 Zentimeter.

Nun kennen wir den gesuchten Radius und die gesuchte Höhe. Nun können wir auch die gesuchte Oberfläche der optimalen Dose bestimmen: O* gleich 2 mal Pi mal r hoch 2 plus 2 mal Pi mal r mal h.

Setzen wir für r 3,63 cm und für h 7,25 cm ein, erhalten wir 2 mal pi mal in Klammern 3,63cm hoch 2 + 2 mal pi mal 3,63 cm mal 7,25 cm.

Die kleinste Oberfläche einer Coladose, die 300 ml Volumen fassen soll, beträgt also 248,15 Quadratzentimeter.

Ist dir eigentlich an den Werten für den Radius und der Höhe etwas aufgefallen? Der Wert des Radius ist halb so groß wie der Wert der Höhe. Eine optimale Dose hat - anders ausgedrückt - genau dann die kleinste Oberfläche, wenn der Durchmesser d genauso groß ist wie die Höhe h.

Zusammenfassung

Damit haben wir unsere Aufgabe erledigt und können der Getränkefirma dabei weiterhelfen möglichst wenig Blech bei der Produktion verwenden zu müssen. An diesem Beispiel konntest du nun sehen, wie eine Extremwertaufgabe gelöst wird. Du hast gesehen, dass die Zielfunktion auch von mehreren Variablen abhängen kann. Dann wendet man mithilfe der Nebenbedingung das Einsetzungsverfahren an.

Das eben gezeigte Verfahren kannst du übrigens auch bei den anderen Extremwertaufgaben anwenden. Nun wünsche ich dir noch viel Erfolg beim Lernen und sage “Bis bald”!

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2 Kommentare
  1. Felix

    @Ramazanunal57: Du kannst 600/r schreiben als 600*r^(-1). Das kannst du mit Hilfe der Potenzregel ableiten und erhältst 600*(-1)*r^(-2)
    =-600*r^(-2)=-600/r^2. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor 23 Tagen
  2. Default

    Wie hat man im Video 600/r abgeleitet, sodass am Ende -600/r^2 rauskommt? Welche Zwischenschritte gibt es und welche Ableitungsregel wird genutzt? Vielen Dank.

    Von Ramazanunal57, vor 25 Tagen