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Transkript Inkreisradius von Dreiecken – Bestimmung des Radius

Hallo, liebe Mathematikfreundinnen und Mathematikfreunde. Herzlich willkommen zu diesem Video. Es wäre schön, wenn ihr zur Ansicht dieses Videos auf Teil 2 "Der Inkreisradius des Dreiecks" angeschaut habt. Dort haben wir die Konstruktion des Inkreises ausgeführt. Heute machen wir weiter mit Teil 3. Das Thema dieses Videos lautet: "Berechnung von r". Ich habe dafür schon einmal ein Dreieck mit Winkelhalbierenden und dem Inkreis vorbereitet. Das Dreieck setzt sich zusammen aus Paaren rechtwinkliger Dreiecke, so wie dem orangefarbenen Paar rechtwinkliger Dreiecke oder dem Paar gelber Dreiecke oder dem Paar hellblauer Dreiecke. Die Strecken zwischen den einzelnen Farben sind jeweils der Inkreisradius des Inkreises des Dreiecks. Bevor wir mit der Rechnung beginnen, müssen wir unsere Skizze vervollständigen. Die Eckpunkte bezeichne ich mit Großbuchstaben A, B und C. Nun fälle ich noch die Lote vom Mittelpunkt auf die 3 Seiten des Dreiecks. Ich erhalte die Lotfußpunkte P, Q und R. Die Länge der Strecken PM, QM und RM sind genau die Länge des Radius des Inkreises des Dreiecks. Weiterhin benötigen wir noch Unterteilungen der einzelnen Dreieckseiten. a1+a2=a, b1+b2 ergibt in der Summe b, und die Addition von c1+c2 ergibt schließlich c. So, diese 3 Gleichungen schreibe ich einmal untereinander. Jetzt nutzen wir Kongruenz von Dreiecken aus, die wir in Video 1 gezeigt haben. Daraus ergibt sich: a1=c2, b1=a2 und c1=b2. Wir schreiben jetzt für die Gleichung oben links: a=a1 und, da b1=a2 ist, +b1. Für die Gleichung darunter schreiben wir b=b1+ und, da c1=b2 ist, c1. Für die letzte Gleichung aus dem Block oben links: c=c1 und da a1=c2 ist, +a1. Diese 3 Gleichungen in der Mitte bilden jetzt ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten: a1, b1 und c1. Wenn a, b und c gegeben sind, kann man dieses Gleichungssystem lösen. Wir subtrahieren jetzt Gleichung 2 von Gleichung 3. Wir erhalten: c-b=a1-b1. c1 und -c1 haben sich gegenseitig aufgehoben. Jetzt addieren wir die beiden Gleichungen. Ich deute das an mit dem roten Additionszeichen und dem Strich der schriftlichen Addition. Also: Links bleibt stehen a-b+c und rechts a1+b1+a1-b1. Auf der rechten Seite heben sich b1 und -b1 gegeneinander auf. Wir erhalten somit a-b+c=2×a1. Wir dividieren durch 2 und erhalten 1/2(a-b+c)=a1. Das erste Zwischenergebnis. Wir übertragen nun die Gleichung nach oben links und löschen die Nebenrechnungen. Als nächstes tragen wir am Punkt B den Winkel β ein. Wir wissen, dass der Winkel durch unsere Konstruktion halbiert wird: β/2. Wir betrachten nun das rechtwinklige Dreieck im Punkt P und die beiden Seiten a1 und PM, hier durch Pfeile angedeutet. PM ist gerade der Radius r. Wir wissen nun aus der Trigonometrie, das gilt: r verhält sich zu a1 wie Tangens von β/2. Wir multiplizieren beide Seiten mit a1 und erhalten: r=a1×tan(β/2). Jetzt notiere ich eine nützliche Beziehung, die in eurer Formelsammlung enthalten sein sollte. tan(β/2)=\sqrt [(1-cosβ)/(1+cosβ)]. Das ist aber noch nicht alles. Wir benötigen zur Herleitung der Formel noch den Kosinussatz. Er lautet für den Winkel β: b2=(a2)+(c2)-2ac×cosβ. Wir bringen nun den Term mit negativen Vorzeichen von der rechten auf die linke Seite und subtrahieren von beiden Seiten der Gleichung b2. Damit ergibt sich: 2ac×cosβ=(a2)+(c2)-(b2). Wir dividieren nun beide Seiten der Gleichung durch 2ac und erhalten: cosβ=[((a2)+(c2)-(b2))/2ac]. So, nun ist es Zeit, etwas Ordnung zu schaffen. Wir nummerieren die Gleichungen von 1 bis 4 und setzen die Rechnung fort. Zunächst setzen wir 4 in 2 ein. Wir erhalten: tan(β/2)=\sqrt {[(1-((a2)+(c2)-(b2))/2ac] / [1+((a2)+(c2)-(b2))/2ac]. Wir bringen nun die Brüche im Zähler und im Nenner auf einen gemeinsamen Nenner. Dieser beträgt jeweils 2ac. Im Zähler ergibt sich für den Erweiterungsterm 2ac+(b2)-(a2)-(c2) und im Nenner entsprechend 2ac×[2ac+(a2)+(c2)-(b2)]. So, Würzelchen nicht vergessen und mit leichter Hand 2ac gegen 2ac kürzen. tan(β/2)= Wurzel aus... so, und wir können nun den Zählerterm und den Nennerterm mithilfe der 2. und mithilfe der 1. binomischen Formel umwandeln. Wir erhalten im Zähler [(b2)-(a-c)2]. Das gilt nach der 2. binomischen Formel. Der Nennerterm ergibt nach der 1. binomischen Formel [(a+c)2]-b2. So. Gleichung 2 wird nicht mehr benötigt und wir können sie weglöschen. An ihre Stelle tritt die Gleichung unten, die wir aber noch etwas umwandeln werden. Also, Gleichung 5: tan(β/2)= und unten geht es erst einmal weiter.  tan(β/2)=. Und wenn wir uns den Zähler und den Nenner unterhalb der Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung anschauen, dann lacht uns die 3. binomische Formel mitten ins Gesicht. Wir können somit schreiben: Für den Zähler [b-(a-c)]×[b+(a-c)] und im Nenner entsprechend (a+c-b)×(a+c+b). So, Würzelchen nicht vergessen, wir können dann den Eintrag bei Gleichung 5 vornehmen. Gleichung 5, tan(β/2)=. Ich schreibe zunächst das Wurzelargument (b+c-a)×(a+b-c) im Zähler und im Nenner (a+c-b)×(a+b+c). Darüber die Wurzel. So, nun können wir die Nebenrechnung unten rechts entfernen und auch Gleichung 4 benötigen wir nicht mehr. Wir haben nun noch die Gleichungen 1, 5 und 3, aus denen wir r als Funktion der 3 Dreiecksseiten a, b und c formulieren werden. Und das ist auch nicht mehr schwer. Wir setzen nun die Gleichungen 1 und 5 in die Gleichung 3 ein. Wir erhalten somit: r=1/2(a-b+c){[(b+c-a)×(a+b-c)]/[(a+c-b)×(a+b+c)]}. Über dem Bruch noch die Wurzel. Um den Ausdruck für r visuell einfacher zu gestalten, setze ich einfach u=a+b+c, und u, der Umfang, ist ja tatsächlich gleich der Länge der einzelnen Seiten eines Dreiecks. Die Substitution auf den letzten Ausdruck für r angewendet erhalten wir: r=1/2(u-2b)×\sqrt {[(u-2a)(u-2b)]/[(u-2b)×u]}. So. Jetzt bringen wir noch den Klammerfaktor, der vor der Wurzel steht, unter die Wurzel, und unter der Wurzel erhält er dann noch ein Quadratzeichen, dann ist alles in Ordnung. Wir erhalten also in der letzten Zeile: r=(1/2)×\sqrt{[(u-2b)2×(u-2a)×(u-2c)]/[(u-2b)×u]}. Die Gleichung unten rechts erhält noch eine kleine Kosmetik, ich wische überflüssiges weg und wir haben die endgültige Formel in Händen. Wir erhalten somit für den Inkreisradius des Inkreises eines Dreiecks: r=(1/2)×\sqrt{[(u-2b)×(u-2a)×(u-2c)]/u}. So, liebe Hörerinnen und Hörer, ich wünsche euch alles Gute, viel Erfolg, Gesundheit und bis zum nächsten Mal. Tschüss!

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