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Transkript Extremwertaufgabe – Streichholzschachtel

Hallo! Hier kommt eine Extremwertaufgabe, die häufig in Klausuren gestellt wird, deshalb möchte ich sie mal dir zeigen. Es geht um eine Streichholzschachtel. Ich zoome das jetzt nicht dran, du weißt, wie eine Streichholzschachtel ausschaut. Hier habe ich von der Streichholzschachtel mal die konkreten Maße aufgeschrieben. Also l=5,3cm, b=3,6cm und h=1,6cm. Inhalt dieser immer ähnlichen Aufgaben ist, eine Streichholzschachtel zu konstruieren, die mit einem optimalen Materialverbrauch auskommt. D. h. man möchte für die Schachtel möglichst wenig Material verwenden, trotzdem sollen genauso viele Streichhölzer reinpassen wie in diese konkrete Streichholzschachtel auch. Das ist eine Aufgabe, da sind zwei Punkte zu beachten. Zum einen ist das eine typische Aufgabe dafür, wenn man sich vorher ordentlich Gedanken macht, dann hat man hinterher fast nichts mehr zu tun. Wenn man sich die Gedanken nicht macht und schnell schnell rechnet, dann hat man viel zu tun. Zweiter Punkt ist, man muss hier wirklich sagen, von welchen Voraussetzungen man ausgeht. Man muss das erklären in der Klausur, was man macht, was man vorhat. Und zwar müsste ich jetzt, wenn ich eine Klausur schreiben würde, erklären, dass ich die Aufgabe so verstehe, dass es hier um einen Quader geht, dessen Oberfläche möglichst gering werden soll. Und zwar muss ich das deshalb erklären, weil wir alles wissen, dass so eine Streichholzschachtel in der Regel so eine Schublade hier drin hat. Die müsste ich beim Materialverbrauch auch berücksichtigen. Wenn ich jetzt hier die äußeren Maße irgendwie ändere, dann ändert sich das da innen auch. Aber wenn man dann weiter sich die Packung anschaut, dann sieht man, dass hier an dieser Seite oben etwas herum geklebt ist. Also wenn man das jetzt ganz genau nimmt, müsste man diese Klebefläche auch berücksichtigen und dann bekäme man noch etwas anderes heraus. Aber ich glaube, dass man da so weit nicht einsteigen muss, dass man die Aufgabe ruhig so verstehen darf, dass es um einen Quader geht, dessen Volumen gegeben ist und dessen Oberfläche einfach möglichst gering werden soll. Man muss sich am Anfang überlegen, da es um einen Quader geht, der möglichst geringe Oberfläche haben soll, könnte man schnell auf die Idee kommen, dann ist das ein Würfel. Ich nehm einfach das Volumen und mache einen Würfel daraus und dann passt das schon. In dem Fall passt das eben nicht, weil dann die Streichhölzer nicht mehr reinpassen. Wenn ich diese Länge verändere, wenn ich die kürzer mache, dann passen die Streichhölzer nicht mehr rein. Wahrscheinlich werde ich sie nicht länger machen, das wäre verschenkter Platz, verschenkter Raum hier drin und das würde bestimmt nicht zum Optimum führen, da mach ich mir gar keine Gedanken darüber. Also die Länge - denke ich mal - wird einfach gleich bleiben, weil die Streichhölzer die Länge der Packung vorgeben. Dann bedeutet das aber, dass ich jetzt, um die Oberfläche möglichst gering zu machen, nur noch diese beiden Maße ändern kann. Ich weiß außerdem, da das Volumen ja gleich bleiben soll, dass diese beiden äußeren Flächen hier, dort, wo die Schublade aufgeht, die müssen gleich bleiben. Die Flächen selbst müssen gleich bleiben oder diese Flächenmaßzahlen müssen gleich bleiben. Ich kann die Maße verändern, aber die Fläche nicht. Wenn ich die Fläche verändern würde und die Länge gleich bleibt, hätte ich auch ein anderes Volumen. Und das darf hier eben nicht passieren, es sollen ja genauso viele Streichhölzer hineingehen wie vorher. Ich habe immer noch nichts geschrieben dabei, das sind alles die Vorüberlegungen noch. Wenn ich die Fläche nicht ändern darf, kann ich nur Breite und Höhe verändern, sodass die Fläche gleich bleibt. Und da sollte einem etwas einfallen. Wenn ich ein Rechteck suche mit gegebenem Flächeninhalt, das einen möglichst geringen Umfang haben soll - und es geht ja letzten Endes hier um den Umfang dieses Rechtecks, der soll möglichst gering werden, dann ist der Materialverbrauch am geringsten - , das kenn ich ja schon von den Extremwertaufgaben her, dann ist das ein Quadrat. Ein Quadrat ist das Rechteck, das bei einem gegebenen Flächeninhalt den geringsten Umfang hat. Es kann jetzt passieren, dass man davon schon ausgehen darf in der Aufgabe. Dann ist man sowieso fertig. Dann braucht man nur noch diese Fläche berechnen, die Wurzel ziehen und gut ist. Aber das kann man vielleicht nicht voraussetzen und deshalb mache ich das mal kurz vor. Und zwar allgemein: Es geht um ein Rechteck, das die Seiten a und b hat und dieses Rechteck a×b hat einen vorgegebenen Flächeninhalt von 1. Ich kann da alles mögliche andere auch einsetzen, alle möglichen anderen Zahlen, es geht nur um einen vorgegebenen Flächeninhalt, und wenn man das allgemein zeigen möchte, dann ist die 1 hier passend. Ich weiß auch, dass der Umfang eines Rechtecks sich nach 2a+2b berechnet. Dieser Umfang soll jetzt möglichst gering werden, d. h. ich hab hier schon meine Hauptbedingung, das ist meine Nebenbedingung und es kommt die Zielfunktion, indem ich die Nebenbedingung nämlich nach b auflöse, damit ich das dann für a einsetzen kann. b=1/a. Das bedeutet, ich habe hier schon meine Zielfunktion von U(a)=2a+2×1/a. Ich muss die ersten beiden Ableitungen machen und dann die erste Ableitung =0 setzen. Diese 0-Stelle in die zweite Ableitung einsetzen, falls die zweite Ableitung >0 ist. Dann habe ich hier ein Minimum vorliegen, davon gehe ich aus, dass das passieren wird. Und was ich jetzt genannt habe, ist halt die hinreichende Bedingung und so rechnet man halt Extreme aus. Dann will ich mal die Sache hier abfahren. Also wir haben U'(a)=2-2a^-2. - deshalb, weil hier a^-1 steht quasi. 1/ bedeutet ^- und wenn ich das nach Faktorregel ableite, habe ich -2, das Vorzeichen habe ich berücksichtigt. a^-1 habe ich nach Potenzregel abgeleitet und deshalb steht hier a^-2. Und dann kommt die zweite Ableitung dazu. U''(a)=4a^-3. 2 abgeleitet ist 0, dann habe ich hier -2 zu berücksichtigen nach der Faktorregel und -2 hier als Exponenten zu berücksichtigen. Dann komme ich also auf +4. -2 habe ich zu berücksichtig wegen der Potenzregel und wegen der Potenzregel muss ich 1 vom Exponenten abziehen und dann erhalte ich also -3 hier. Wenn wir das jetzt hier =0 setzten - nehmen wir ein neues Blatt. Also ich möchte die erste Ableitung =0 setzen. U'(a), ach das brauch ich gar nicht hinschreiben, das ist Unfug. Ich setze einfach 2-2a^-2=0 und bekomme dann Folgendes: Ich kann jetzt +2×a^-2 auf beiden Seiten rechnen, dann habe ich hier 2a^-2 stehen. Ich glaube, das ist jetzt keine Kunst mehr. Ich teile die gesamte Gleichung /2, dann habe ich hier 1=a^-2 stehen. Ich multipliziere mit a2, dann steht hier a2 und da steht eine 1. a2=1 und das, was mich hier interessiert, ist a=1. Ich habe hier nur ein Folgerungszeichen stehen. Hätte ich einen Doppelpfeil gemacht, ein genau-dann-wenn-Pfeil, dann hätte ich beide Lösungen berücksichtigen müssen. Da es keine negativen Längen gibt hier bei dieser Streichholzschachtel, interessiert mich nur die Sache hier für a=1. Wenn man U''(1) berechnet, erhält man 4×1^-3. 1^-3=1. Das Ergebnis ist 4, das ist >0 und es folgt das Minimum. Das heißt, ich habe jetzt gezeigt, wenn die Fläche =1 sein soll, dann ist die Seitenlänge =/sqrt1 und das sieht man auch gleich hier, wenn ich hier für a 1 einsetze, dann kann ich b ausrechnen, das ist dann auch 1. Und das funktioniert mit jeder anderen Zahl, die ich hier einsetze. Dann würde es immer auf die Wurzel dieser Zahl hinauslaufen. Das a müsste immer die Wurzel aus dieser Zahl sein, das b wäre dann ebenfalls die Wurzel aus dieser Flächenmaßzahl, die gegeben ist. Damit haben wir das Quadrat. Wenn ich ein Rechteck habe und eine Seitenlänge dieses Rechtecks ist die Wurzel aus der Fläche, dann habe ich ein Quadrat. Dann kann die andere Seite auch nur noch die Wurzel aus der Fläche sein. Und deshalb ist es ein Quadrat. Das heißt, jetzt haben wir also nachgewiesen: Die Streichholzschachtel hat dann einen optimalen Materialverbrauch, wenn es hier ein Quadrat ergibt, wenn diese Seite hier ein Quadrat ist. Das heißt ich muss jetzt nur noch, um das auf diese konkrete Packung zu übertragen, muss ich nur noch rechnen b×h=5,76cm² und die Wurzel daraus. Ich schreib das jetzt mal abkürzend hier, ich mache kein großes Zeugs mehr. b=/sqrt5,76 und das ist einfach 2,4, dann ist h auch gleich 2,4cm. Das bedeutet, dieses und dieses hier jeweils 2,4. Ich glaube damit ist die Sache hier dann hinreichend auch erledigt. Viel Spaß damit. Tschüss!

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