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Transkript Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung stetiger und diskreter Zufallsvariablen

Hallo! Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung stetiger und diskreter Zufallsgrößen, das ist das Thema. Fangen wir an mit dem Erwartungswert einer diskreten Zufallsgröße. Wir haben eine diskrete Zufallsgröße X, der Erwartungswert heißt dann EX oder E(X) oder einfach μ. Das ist der griechische kleine Buchstabe μ. Errechnet wird ein solcher Erwartungswert in dem man summiert von i=1 bis ∞ von xi×P(X=xi). Was bedeutet das? Wir stellen uns zunächst vor, dass die möglichen Werte der Zufallsgröße X durchnummeriert sind, dann können wir nämlich sagen hier diese xi sind dann alle Werte der diskreten Zufallsgröße. Falls sie nur endlich viele haben sollte, könnte man hier auch eine Zahl hinschreiben und müsste nicht bis ∞ summieren. Das hier, P(X=xi), ist die Wahrscheinlichkeit dieses Wertes der Zufallsgröße X. Die beiden werden multipliziert, alle diese Produkte werden addiert und heraus kommt der Erwartungswert der diskreten Zufallsgröße X. Wie kann man sich das vorstellen? Das kann man sich mit Gewinnen vorstellen. Angenommen die Zufallsgröße X ordnet bestimmten Spielsituationen Gewinne zu, dann ist der Erwartungswert der Gewinn oder auch Verlust, den man durchschnittlich auf lange Sicht pro Spiel zu erwarten hat. Das nur als kleine Veranschaulichung. Die Varianz einer diskreten Zufallsgröße X nennt sich VarX oder σ², das ist der griechische Buchstabe σ, oder man kann auch sagen das ist der Erwartungswert E(X-EX), also der Erwartungswert von Zufallsgröße minus Erwartungswert der Zufallsgröße. Berechnet wird diese Varianz in dem man wieder von 1 bis ∞ summiert. Hierfür gilt das gleiche, was ich da gesagt habe, aber man schreibt jetzt hier nicht einfach xi, sondern man bildet Differenz von xi und μ und quadriert diese Differenz auch noch und multipliziert mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Wenn man sich das vorstellen möchte, was damit nun ausgedrückt wird, dann hat man hierdurch ein Maß für die Streuung. Je weiter die xi vom Erwartungswert entfernt sind, desto größer werden die Quadrate. Allerdings ist diese Streuung auch noch abhängig davon wie wahrscheinlich diese jeweiligen Werte sind. Also wenn ein Wert weit weg ist vom Erwartungswert, dieser aber nicht so wahrscheinlich ist, dann wird aus hier einem großen Wert wieder durch diesen kleinen Wert, der multipliziert wird, ein nicht so großes Produkt. Im stetigen Fall ist es ein kleines bisschen anders. Wir haben eine stetige Zufallsgröße X, die hat einen Erwartungswert μ, den man berechnet in dem man von -∞ bis +∞ integriert, und zwar den Ausdruck x×f(x). f(x) ist die Dichtefunktion der stetigen Zufallsgröße. Die Dichtefunktion wird jeweils mit den reellen Zahlen multipliziert und dann das Ganze integriert. Wir können von -∞ bis +∞ deshalb integrieren, weil wir ja davon ausgehen können, dass eine Dichtefunktion immer auf ganz R definiert ist. Sollte die Dichtefunktion nur auf einem abgeschlossenen Intervall positive Werte erreichen, dann kann man trotzdem sagen, dass sie überall definiert ist, denn man kann einfach sagen, dass sie im gesamten Rest gleich 0 sein soll. Und dann kann man hier immer von -∞ bis +∞ integrieren, das ist dann kein Problem. Die Varianz σ² oder auch VarX genannt und so weiter, das habe ich jetzt hier nicht hingeschrieben, ist das Integral von -∞ bis +∞ von (x-μ)²×f(x)dx. Hier wird also auch wieder zuerst die Differenz der Zahl und des Erwartungswertes gebildet und dann quadriert und das Ganze mit der Dichtefunktion multipliziert. Das ist so ähnlich hier wie auch im diskreten Fall. Wir haben hier also mögliche Werte von x und bilden die Differenz eines möglichen Wertes mit dem Erwartungswert und quadrieren das Ganze. Das ist hier genauso. Hier sind es allerdings dann tatsächliche Werte, die die Zufallsgröße X hat. Und jeweils wird hier multipliziert mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit und hier wird mit der Wahrscheinlichkeitsdichte multipliziert. Und man kann ja auch, wenn man so will, dieses Intergral als verallgemeinerte Summe auffassen und dann sind wir hier auch in ganz guter Nachbarschaft. Ebenso ist es beim Erwartungswert. Auch hier haben wir eine echte Summe, hier eine "verallgemeinerte" Summe. Hier haben wir mögliche Werte der Zufallsgröße, hier haben wir tatsächliche Werte der Zufallsgröße und wir haben hier eine Wahrscheinlichkeitsdichte und hier die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten. Also das passt auch ganz gute zusammen. Ja, fehlt noch die Standardabweichung. Die Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz. Also einfach wenn hier die Varianz σ² ist, ist die Standardabweichung einfach σ, falls σ positiv ist. Eine kleine Anmerkung noch dazu. Ich hoffe es ist überflüssig das zu erwähnen. Falls nicht mache ich es trotzdem. Es reicht nicht, wenn man die Wurzel der Varianz bilden möchte, dass man hier das Quadrat weg lässt. Man muss erst diese Produkte bilden, dann die ganze Summe bilden und aus dem Ergebnis die Wurzel ziehen. Das gilt hier genauso, wollte ich nur noch mal gesagt haben. Es reicht nicht das Quadrat weg zu lassen. Man muss ganz σ² bilden und dann aus dem Wert die Wurzel ziehen. Viel Spaß damit, tschüss!

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