Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Bestimmte Integrale – Beispiel (3)

Hallo wir machen Beispiele zu bestimmen Integralen und das habe ich hier vorbereitet. Ja da siehst Du also das t und x hier in der Funktion vorkommen und dahinter steht dt. In anderen Beispielen hast Du das wahrscheinlich schon gesehen, dass da dx steht. Hier hinten wird immer angegeben, welche Variable die Integrationsvariable ist. Häufig kommt hier vorne nur ein x vor und da könnte man ja meinen, naja, dann ist es ja klar das x die Integrationsvariable ist, aber es gibt eben auch diese Situation hier und da ist es überhaupt nicht klar. Hier steht jetzt also dt. Das heißt, t ist die Integrationsvariable und innerhalb dieses bestimmten Integrals fassen wir also x als Konstante auf oder man sagt dann auch, das ist ein Parameter. Das ist jetzt die unabhängige Funktionsvariable und das ist der Parameter. Wie auch immer, wir müssen jetzt also nach t integrieren. Und zwar brauchen wir das bestimmte Integral von 0 bis 1 und das geht so, indem man nämlich eine Stammfunktion von t2 bildet und x3 als Konstante auffasst, dazu braucht man dann die Konstantenregel. Eine Stammfunktion dieser Situation ist also (1/3x3)×t3 und hier stehen dann die Grenzen von 0 bis 1. Jetzt können wir 1 und 0 einsetzen, haben (1/3)x3×13-(1/3)x3×03. Weil hier insgesamt also 0 steht, haben wir letzten Endes noch (1/3)x3 und das ist (x3)/3. Das ist kein spezieller bestimmter Wert, das ist richtig, aber wir erhalten immer dann einen bestimmten Wert dieses Integrals, wenn wir für x eine Zahl einsetzen. Ja das geht jetzt natürlich auch mit der anderen Variablen. Jetzt steht hier als Funktion t2×x2 und dx dahinter. In dem Fall bedeutet das jetzt, dass x unsere Integrationsvariable ist. Also hier, wir fassen das hier als Funktion auf, beziehungsweise als Funktionenschar. Immer wenn man für t etwas einsetzt, erhält man hier eine Funktion und da nun x unsere Integrationsvariable ist, müssen wir quasi x3 mit einem konstanten Faktor vorher integrieren. Das ist dann (1/4)t2×x4. Das ist eine Stammfunktion. Davon die Integrationsgrenzen sind weiter 0 bis 1 und hier ist das, was rauskommt, (1/4)t2×14-(1/4)t2×04 das ist insgesamt 0. (t2)/4 ist das Ergebnis. Bedeutet also immer, wenn man für t hier eine Zahl einsetzt, bekommt man auch ein bestimmtes Ergebnis dieses bestimmten Integrals. Eine Kleinigkeit möchte ich noch zeigen, und zwar brauchen wir das bestimmte Integral in den Grenzen  von 1 bis 4 der Funktion (1/Wurzel x) Ja 1/Wurzel x kann man in Potenzschreibweise schreiben. Das ist dann x^-1/2. Ich hoffe, das kennst Du noch. Die einschlägigen Potenzgesetze dazu, also die für negative Exponenten und für Brüche als Exponenten, also für rationale Zahlen im Exponenten. Wenn nicht, solltest Du da noch mal nachschauen. Kommt immer wieder vor, muss man wissen, auch hier in der Integralrechnung. Nun wird also eine Stammfunktion zu x^-(1/2) gesucht und da kannst Du wirklich wieder ganz stumpf  in die Potenzregel einsetzen. Die Potenzregel der Integration gilt ja für alle Zahlen, außer für -1. Sie gilt auch zum Beispiel für -1/2. Und wenn man das einsetzt, ich mache das jetzt nicht im Einzelnen vor, falls Du da unsicher bist, hol Dir diese Potenzregel nochmal her und setze für n das ein, was hier steht, nämlich -1/2 und dann kommt das halt so raus. Also 2x1/2 ist eine Stammfunktion von 1/Wurzel x Wir müssen die Grenzen einsetzen, nämlich 1 und 4 und zunächst wird 4 eingesetzt also 2×41/2-2×11/2   11/2 ist ja 1, weil die Wurzel von 1=1 ist und 41/2 ja, das ist die Wurzel von 4 und das ist 2 also haben wir hier 4-2 und das ist ganz einfach 2. Soweit die Beispiele. Viel Spaß. Tschüss

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Bei 1:56: müsste das in der eckigen Klammer nicht 1/4 x^4 sein? denn abgeleitet wäre das dann ja x^3 oder?

    Von Ulrike Juergensen, vor etwa 2 Jahren
  2. Default

    x^3 wird im Video Konstante genannt. Ist x^3 nicht ein Faktor bzw. ein Koeffizient weil davor ein Mal steht? Ich dachte bislang +x ist eine Konstante und *x ist ein Koeffizient.

    Von Sergej Knaub1990, vor mehr als 3 Jahren