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Textversion des Videos

Transkript Ähnliche Rechtecke

Einen schönen guten Tag, liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video "Geometrie Teil 50". Das Thema dieses Videos lautet "ähnliche Rechtecke". Stellen wir uns einmal vor, wir haben es mit diesen 5 schönen Rechtecken zu tun und wir stellen uns die Frage: Sind diese Rechtecke untereinander ähnlich? Könnt ihr euch noch daran erinnern, wie wir die Ähnlichkeit von Dreiecken und Quadraten überprüft haben? Auch hier werden wir das tun. Ich nehme mir mal die beiden größten Rechtecke vor, dass hellgrüne und das rote und werde nun feststellen, ob sie zueinander ähnlich sind. Als erstes, das wär ein Sonderfall, die Kongruenz, ist hier nicht gegeben, denn die beiden Rechtecke sind nicht deckungsgleich. Die beiden längeren Seiten der Rechtecke stimmen nicht überein. Durch Annäherung an die Kamera erziele ich eine Übereinstimmung der längeren Seiten. Aber die kürzeren Seiten stimmen nun nicht überein. Die an sich schon größere kürzere Seite des hellgrünen Rechtecks wird nun noch größer. So sehr ich mich auch bemühe, die Vergrößerung hilft nicht. Ich erziele keine Deckungsgleichheit, keine Kongruenz. Demzufolge sind beide Rechtecke nicht ähnlich. Ich sortiere daher das grüne Rechteck aus und bleibe bei meinem roten Rechteck. Ich nehme nun das kleine dunkelgrüne Rechteck und überprüfe, ob es zu dem großen roten Rechteck ähnlich ist. Ich nähere es dafür an die Kamera an, verschaffe ihm sozusagen eine Vergrößerung und tatsächlich erhalte ich eine Übereinstimmung in den längeren der beiden Seiten. Die kürzeren der beiden Seiten sind aber verschieden und daher sind beide Rechtecke nicht ähnlich zueinander. Nehme ich nun das gelbe Rechteck. Ich nähere es an die Kamera an, und man sieht sehr schön, dass es zu einer Übereinstimmung des gelben Rechtecks mit dem roten Rechteck kommt. Das gelbe Rechteck überdeckt exakt das rote Rechteck. Daher sind diese beiden Rechtecke tatsächlich ähnlich zueinander. Den gleichen Versuch führe ich nun mit dem kleinen blauen Rechteck durch. Ich nähere es an die Kamera an und ihr seht, dass es dazu kommt, dass das kleine blaue Rechteck das große rote Rechteck exakt überdeckt und das bedeutet, dass beide Rechtecke ähnlich zueinander sind. Blau, gelb und rot sind ähnlich zueinander. Das kann man noch mal schön sehen. Das blaue Rechteck überdeckt das gelbe Rechteck, das gelbe Rechteck überdeckt das rote Rechteck und schließlich überdecken sich alle 3 Rechtecke exakt. Somit sind die 3 Rechtecke links, blau, gelb und rot, ähnlich zueinander und die beiden grünen Rechtecke rechts sind zu diesen 3 Rechtecken links nicht ähnlich. Wie kann man nun die Ähnlichkeit für Rechtecke verallgemeinern? Erinnert euch an die Videos über Ähnlichkeit für Dreiecke und Quadrate. Wenn wir das kleine blaue Rechteck nehmen und vergrößern, so erhalten wir das gelbe Rechteck. Wenn wir dieses wieder vergrößern, so erhalten wir das große rote Rechteck. Und wenn wir das kleine blaue entsprechend stark vergrößern, so erhalten wir ebenfalls das große rote Rechteck. Durch die roten Pfeile wird jeweils eine Vergrößerung symbolisiert. Umgekehrt ist es natürlich möglich, dass eine Verkleinerung des mittleren gelben Rechtecks das kleine blaue Rechteck ergibt. Und natürlich kann auch eine Verkleinerung des großen roten Rechtecks zu dem kleinen blauen Rechteck führen. Und genauso ist es möglich, dass das große rote Rechteck durch Verkleinerung das gelbe Rechteck ergibt. Eine Verkleinerung wird hier durch einen blauen Pfeil symbolisiert. Formulieren wir einen Merksatz. Erstens: Ähnliche Rechtecke gehen durch Vergrößerung oder Verkleinerung ineinander über. Jetzt wollen wir einmal feststellen, wie wir mathematisch exakt formulieren können, wann wir es mit ähnlichen Rechtecken zu tun haben. Ich möchte die Rechtecke symbolhaft mit rot, gelb und blau abkürzen und anschließend ihre entsprechenden Seiten ausmessen. Die längere der beiden Seiten bezeichne ich mit a, die kürzere der beiden Seiten mit b. Die längere Seite a beträgt bei rot 24 cm, bei gelb 12 cm und bei blau 6 cm. Die Seite b wird für rot mit 16 cm, bei gelb mit 8 cm und bei blau mit 4 cm ausgemessen. Alle Seiten sind verschieden, aber trotzdem gibt es ein System. Wollen wir einmal das Verhältnis von a zu b bestimmen. Das heißt, wir berechnen den Bruch a/b. Wir erhalten für das rote Rechteck 24 cm/16 cm. Beim gelben Rechteck ergibt sich 12 cm/8 cm. Und schließlich haben wir für das blaue Dreieck 6 cm/4 cm. Der erste Schritt besteht darin, dass wir die Einheiten gegeneinander kürzen können, cm gegen cm. Anstelle der cm stehen Einsen, die dann in der weiteren Rechnung nicht mehr berücksichtigt werden müssen. Durch das Abwischverfahren erhalte ich nun 3 Brüche: 24/16, 12/8 und 6/4. Diese Brüche kann ich noch vereinfachen, indem ich Zähler und Nenner gegeneinander kürze. Im ersten Bruch habe ich den Teiler 8 und erhalte 3/2. Im zweiten Bruch habe ich den gemeinsamen Teiler 4 und erhalte 3/2. Und im dritten Bruch habe ich den gemeinsamen Teiler 2 und erhalte 3/2. Ich lösche die Zwischenrechnung weg und lasse nur die Endergebnisse stehen: dreimal 3/2. Das bedeutet somit, dass der Quotient a/b für unsere 3 untereinander ähnlichen Rechtecke jeweils 3/2 beträgt. Wir wollen nun einen Merksatz formulieren. Habt ihr eine Idee? Vielleicht so: Rechtecke sind genau dann ähnlich, wenn die Verhältnisse der Längen beider Seiten gleich sind. Wenn a die Länge der einen Seite des Rechtecks ist und b die andere Seite des Rechtecks ist, so erhalten wir als Quotient a/b=k, in unserem Falle wäre k=3/2. K ist sinnvollerweise eine Zahl, die größer als 0 ist. So, das war es schon wieder für heute. Euch, lieben Schülerinnen und Schülern, wünsche ich alles Gute und Gesundheit. Na dann, auf Wiedersehen.

Informationen zum Video
1 Kommentar
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    Das Video ist echt richtig gut gemacht! Es macht Spaß zuzuhören, außerdem habe ich selten in einer Schulstunde soviel gelernt, wie in diesem Video. Danke!

    Von Tom Kueng99, vor etwa 3 Jahren