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Transkript Abstand zweier Punkte im Raum

Abstand zweier Punkte ist das Thema. Da sind 2 Punkte, P und Q, und die haben jeweils 3 Koordinaten, wie im 3-dimensionalen Raum üblich. Dann gibt es eine Abstandsformel dazu. Also, wir zeigen erst die Abstandsformel, rechnen dann den Abstand dieser beiden Punkte aus, und dann kommt die Herleitung.  Die allgemeine Abstandsformel wäre: der Abstand vom VektorPQ=. Also, das ist hier der Betrag des Vektors, der von P zu Q führt. Dabei ist es übrigens egal, ob man nun den VektorQP oder den VektorPQ nimmt. VektorPQ=/sqrt((p1-q1)2+(p2-q2)2+(p3-q3)2). Also, hier haben wir jeweils die Koordinatendifferenzen, wir haben die Quadrate der Koordinatendifferenzen. E wird die Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen gebildet, und die Wurzel aus der Summe der Quadrate der Koordinatendifferenzen der Punkte, ist der Abstand der beiden Punkte. Und jetzt können wir das noch einsetzen. Plus wegen hier Minus, und hier auch. Genau, dieses Minuszeichen schreibt man quasi ab, und man setzt für q1, -3 ein. Und weil -(-3)=3, steht da 3. Jetzt haben wir (42)-(82)+(22), und das ist auf jeden Fall größer als 9. 84 ist das zusammen. Das ist ein bisschen größer als 9, man kann ja den Näherungswert noch angeben, wenn man es in den Taschenrechner eintippt, man kann es aber auch lassen. Wir lassen es jetzt. Man kann diese Punkte auch anders schreiben, und zwar als Ortsvektoren. Das habe ich schon einmal heimlich vorbereitet hier. Dann hat man den Vektor, der vom Nullpunkt des Koordinatensystems, oder vom Ursprung des Koordinatensystems, zum Punkt P führt, das ist dieser Ortsvektor dazu. Der hat diese Koordinaten. Das sind auch diese Koordinaten, die hier stehen, und da auch. Dann muss man eben, wenn das vorgegeben ist, auch diese drei Zahlen dann, jeweils hier für p1 bis p3, beziehungsweise für q1 bis q3, einsetzen. Dann ändert sich nichts. Dann kann man eben mal zeigen, wie man das herleiten kann. Und zwar geht es da um den Satz des Pythagoras. Also das ist ein Quader, beziehungsweise ein Kantenmodell eines Quaders. Man kann sich das so vorstellen, dass hier zum Beispiel P ist, und hier zum Beispiel Q. Dann kann man immer so einen Quader konstruieren. Und zwar kann man sich vorstellen, wie so ein Quader zustande kommt. Diese Strecke hier ist (p1-q1), die Länge. Diese Streckenlänge hier ist (p2-q2). Also die Differenz immer, beziehungsweise genauer gesagt, der Betrag der Differenz ist die Streckenlänge. Ich glaube man kann sich das ganz gut, intuitiv vorstellen. Und das ist dann die x3Differenz. Und dann, wie geht es weiter? Mach du. Man könnte hier mit dem Satz des Pythagoras anfangen, indem man diese Differenz, also von da bis da, ausrechnet, zum Quadrat nimmt, und mit dieser Differenz zum Quadrat addiert. Und das wäre dann die quadrierte Länge, dieses. Also, Satz des Pythagoras kennt man meistens unter (a2)+(b2)=(c2). a und b sind die beiden Katheten, das ist die Hypotenuse. Und wenn man also diese (x1Differenz)2+(x2Differenz)2 rechnet, dann erhält man diese Diagonale2. Jetzt kann man weiter machen, da man ja das gegeben hat. Dann kann man diese Differenz2 mit dieser Differenz2 addieren. Dann bekommt man diese Länge, diese Strecke2 raus. Warum bekommt man die raus? Weil das wieder ein rechtwinkliges Dreieck ist. Ich halte das einmal so rum, dann kann man es vielleicht ein bisschen besser sehen. Da ist der rechte Winkel. Das sind jetzt hier die beiden Katheten. Das2+das2=das2. Das hatten wir schon. Dieses2 ist ja (x1Differenz)2+(x2Differenz)2+(x3Differenz2) ist diese Diagonale2. Und letzten Endes ist es das, was wir auch hier in der Formel haben. (Differenz(erste Koordinate))2+das2+(das hier)2=das2. Wenn man daraus die Wurzel zieht, bekommt man die Länge dieser Strecke hier. Hättest du eigentlich auch sagen können. Ja, egal, das war es.

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5 Kommentare
  1. Ja billard

    Bei der Berechung von BC wieso muss man da noch die Wurzel 2 dazurechnen?

    Von Nikola B., vor 10 Monaten
  2. Default

    Statt p1,p2,p3, etc. wäre wäre px, py, pz vielleicht verständlicher.

    Von Flateric Ch, vor mehr als einem Jahr
  3. Foto%20am%2015.09.11%20um%2022.38

    Ich finde es Gut! Weiter so, vielen Dank!!!!

    Von Mirella C., vor etwa 3 Jahren
  4. Flyer wabnik

    Danke, André!

    Von den Videos in diesem Stil habe ich in letzter Zeit einige hochgeladen und in paar kommen auch noch. Ich bin nicht sicher, ob dieses Konzept so gut ist und freue mich deshalb sehr über konstruktive Rückmeldungen.

    Gerade die Musik dürfte wohl eine Geschmacksfrage sein ...

    Entscheident für die Auswahl der Musik war, was von meinem Empfinden her zur Situation während des Drehens passt (natürlich unter der Voraussetzung, dass ich diese Musik auch verwenden darf). Ich möchte damit zeigen,
    dass Mathematik auch in Stimmungen stattfinden kann, die gemeinhin nicht mit einem Mathe-Unterricht verbunden werden.

    Von Martin Wabnik, vor etwa 5 Jahren
  5. 001

    Hübsche Idee. Nur der Lehreranteil ist hier etwas zu hoch. Die Schülerin kann es doch. Und du Martin, denkst und redest zu schnell.

    Trotzdem: Klasse!

    Gruß

    André

    Von André Otto, vor etwa 5 Jahren