Quadratische Gleichungen lösen

Gleichungen wie $x^2 = 7,~~4x^2– 9 = –1\text{ und } x^2 – 6x + 3 = 0$ heißen quadratische Gleichungen. Allgemein haben sie die Form $ax^2 + bx + c = 0$.

$a$ darf dabei nicht $0$ sein($a ≠ 0$), da die Gleichung ja sonst überhaupt kein quadratisches Glied enthielte. Neben dem quadratischen Glied gibt es in der Gleichung das lineare Glied ($bx$) und das absolute Glied ($c$).

Die Gleichung enthält ein lineares Glied, wenn der Koeffizient $b$ auch nicht $0$ ist ($b ≠ 0$). Man spricht dann von einer gemischt quadratischen Gleichung, da sie ein lineares und gleichzeitig auch ein quadratisches Glied enthält. Diese Form stellt den allgemeinen Fall einer quadratischen Gleichung dar.

Quadratische Gleichungen kannst du graphisch oder rechnerisch lösen. An dieser Stelle lernst du eins der rechnerischen Lösungsverfahren kennen.

abc-Formel (Mitternachtsformel)

Eine weitere Lösungsformel neben der pq-Formel zum Lösen quadratischer Gleichungen ist die abc-Formel, auch Mitternachtsformel genannt. Im Unterschied zur pq-Formel kannst du die Mitternachtsformel direkt auf die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ anwenden.

Eine Umformung ist nicht notwendig. Dafür ist die Mitternachtsformel etwas komplizierter, im Prinzip aber ganz ähnlich wie die pq-Formel: Lautet die Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$, so gilt für mögliche Lösungen für $x$:

$x_{1\text{/}2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Ob es Lösungen gibt, darüber entscheidet bei der Mitternachts- wie auch bei der pq-Formel der Term unter der Wurzel.

Ist die Diskriminante $D > 0$ gibt es genau zwei Lösungen. Ist $D = 0$ gibt es genau eine Lösung. Wenn jedoch $D < 0$ ist, gibt es keine Lösung, das heißt, die Lösungsmenge ist leer ($\mathbb{L} = \{~\}$).

Mitternachtsformel Rechenbeispiel

Für die quadratische Gleichung $–4x^2 – x + 5 = 0$ ist $a = –4$, $b = –1$ und $c = 5$. Einsetzen in die Mitternachts- bzw. abc-Formel ergibt:

$x_{1\text{/}2}=\frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot(-4)\cdot 5}}{2\cdot (-4)}=\frac{1 \pm \sqrt{81}}{-8}$

$x_1=\frac{10}{-8}=-1,25~\text{ und }~x_2=\frac{-8}{-8}=1$