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Transkript Was sind quadratische Gleichungen?

Hallo! Dieses Video ist eine Einführung in die quadratischen Gleichungen. Wir kennen schon lineare Gleichungen. Ein Beispiel dafür wäre die Gleichung: 3x+7=2. In solchen Gleichungen kommen x-Terme vor und Zahlen. Und wir nehmen uns jetzt mal dieses Quadrat hier. Das hat den Flächeninhalt 200cm² und wir möchten wissen: Wie lang ist denn die Seite dieses Quadrats? Wir nennen die Kantenlänge jetzt mal x, und dann berechnet sich der Flächeninhalt A aus Breite×Höhe, also x×x, und das ist x2 und das soll also 200cm² sein. Ihr wisst wahrscheinlich auch, dass x dann \sqrt200 ist. Das kann man dann mit dem Taschenrechner ausrechnen, das ist 14,14, ungefähr. Aber mir kommt es auf diese Gleichung hier an, denn das ist eine quadratische Gleichung. Wir haben dort einen x2-Term und eine Zahl. Da haben wir also jetzt schon mal eine Situation gefunden, die man mit einer quadratischen Gleichung beschreiben kann. Jetzt schauen wir uns mal noch eine andere Situation an. Das hier ist eine Gartenmauer und in dem Garten, in dem die Gartenmauer steht, sollen Kühe weiden. Die sehen zwar sehr zahm aus, aber wir brauchen da trotzdem einen Zaun für die Kühe und dieser Zaun soll eine Fläche von 800m² begrenzen. Wir haben aber nur 80m Zaun und die Mauer zur Verfügung. Die Breite der abgesteckten Fläche nennen wir dann mal x und die Länge y. Dann ist also x×y, Breite×Länge=800 und x+x+y=80, weil die Länge des Zauns sich ja aus zweimal der Breite und einmal der Länge der Fläche zusammensetzt. Das kann man umstellen zu y=80-2x, und diesen Term kann man dann für y in der 1. Gleichung einsetzen. Also x×(80-2x)=800. Auch das ist eine quadratische Gleichung, man sieht´s ihr nur nicht gleich an, aber wir lösen jetzt mal die Klammern auf. Da ergibt sich: -2x2+80x=800. Und dann sieht man auch, dass ein x2-Term drin vorkommt, ein x-Term und Zahlen. Jetzt haben wir also schon ein paar Beispiele für quadratische Gleichungen, die 2. und die 3. gehören zusammen, deswegen schreiben wir die mal unter einer Nummer auf. Allgemein können wir sagen: Eine quadratische Gleichung in x ist eine Gleichung, die x2-Terme, eventuell x-Terme, und Zahlen enthält. Es dürfen nur keine größeren Potenzen von x vorkommen als hoch 2. In unserer 1. Gleichung fehlen zum Beispiel die x-Terme und in der 2. haben wir x2-Terme, x-Terme und Zahlen. In der 1. Darstellung dieser Gleichung hätte man vielleicht gar nicht gesehen, dass die quadratisch ist, weil eben kein x2 vorkommt. Aber da muss man eben die Klammern noch ausrechnen. Als 3. Beispiel nehmen wir die Gleichung (x-3)×(x+5)=0. Wenn wir hier die Klammern ausrechnen, erhalten wir x2+2x-15=0. Und in der Gleichung (2x+3)2=1 müssen wir auch die Klammer noch auflösen, hier mit der binomischen Formel. Wir sehen also schon, so eine quadratische Gleichung kann verschiedene Gestalten haben. Davon ist diese hier eine besondere und die wollen wir uns jetzt mal herauspicken. Diese Gleichung ist schon in Normalform. Das bedeutet, alle Klammern sind aufgelöst und die einzelnen Summanden sind nach x-Potenzen geordnet, stehen alle auf einer Seite und auf der anderen Seite steht die 0 und vor dem x2 steht eine 1. Um also zum Beispiel die Gleichung 1 in Normalform zu bringen, brauchen wir nur die 200 auf die linke Seite zu bringen. Dann sind alle Terme zusammengefasst auf der linken Seite und vor dem x2 steht eine 1. Die 2. Gleichung müssen wir noch durch -2 teilen, damit vor dem x2 eine 1 steht. Das ergibt dann x2-40x, und dann hätten wir auf der rechten Seite -400 stehen, die bringen wir noch auf die linke Seite, so dass da dann steht +400=0. Die 3. Gleichung ist ja schon in Normalform und bei der 4. Gleichung müssen wir noch 1 subtrahieren. Das ergäbe dann links +8 und rechts 0, und dann teilen wir noch durch 4. Sodass wir dann erhalten: x2+3x+2=0. Allgemein bezeichnet man diese Gleichung als x2+px+q=0. Weil die Zahl vor dem x, das p, und die Zahl, die alleine steht, das q, besondere Bedeutung haben. In unserer 1. Gleichung wäre also p=0, weil gar kein x-Term vorkommt und q wäre -200. In Gleichung 2 ist p=-40 und q=400. In Gleichung 3 ist p=2 und q=-15 und in Gleichung 4 ist p=3 und q=2. Wenn man also eine quadratische Gleichung vorfindet oder aufgestellt hat, versucht man, die immer erst mal in diese Normalform zu bringen. Aus der kann nämlich dann ganz viel ablesen. Wie man da vorgeht, will ich jetzt anhand dieser Gleichung auch noch mal zeigen. Hier würde man als erstes mithilfe der binomischen Formel die Klammer auflösen. Dann auf der linken Seite die x2-Terme zusammenfassen. Dann die Terme, die rechts stehen, noch auf die linke Seite bringen und am Schluss noch durch 3 teilen. Dann ist also p=-2 und q=11/3. O. k., das war mein kleiner Einstieg in die quadratischen Gleichungen, und beim nächsten Video sehen wir, wie man sie dann löst.

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9 Kommentare
  1. Default

    Gut

    Von Andrea Lietz, vor 12 Tagen
  2. Default

    Gute Erklärung:)

    Von Kohler Jungwirth, vor 7 Monaten
  3. Default

    LeL, ich bin in der 11. Klasse, das ist Stoff aus der 7. Klasse und ich versteh die Erklärung einfach nicht ;DDD

    Von M Jonas 0809, vor 9 Monaten
  4. Default

    Ich hätte eine bitte, dass Sie ein bisschen langsamer erklären! Ich komm nur schwer mit...:(

    Von Swkr, vor fast 2 Jahren
  5. 7 img 1864

    vielen dank !

    Von Li Don De M., vor etwa 2 Jahren
  1. Default

    Wieso wendet man bei IV jetzt die erste binomische Formel an? Statt nur 4xhoch2+9=1? Videostelle 3.51

    Von Hallo Stefanie, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    super erklärt !! danke es hat mir sehr geholfen

    Von Fam Emde, vor mehr als 2 Jahren
  3. Default

    Genial erklärt!!!
    Herr T., geben Sie auch (online) Nachhilfe??
    Sabrina

    Von S Kohler Dibl, vor mehr als 2 Jahren
  4. Default

    Also ich habe gerade mit den quadratischen Gleichungen angefangen und bin der Meinung ,dass dieses Video 3 Unterrichtsstunden ( in denen fast keiner etwas verstanden hat ) richtig gut zusammenfasst! Vielen Dank es hat mir um einiges geholfen :))))

    Von Cialdiniregina, vor mehr als 3 Jahren
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