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Transkript Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufallsgröße

Hallo, es geht um Wahrscheinlichkeitsverteilungen stetiger reeller Zufallsgrößen oder Zufallsvariablen, das ist das Gleiche. Und um Dichtefunktionen und darum, was das genau ist, bzw. ich zeige hier den Sinn der ganzen Sache und formal halte ich mich da etwas zurück. Stetige reelle Zufallsgrößen oder eine stetige reelle Zufallsgröße ist eine Funktion, die den Ergebnissen eines Zufallsversuchs reelle Zahlen zuordnet, und zwar so, dass die Funktion jeden beliebigen Wert eines Intervalls annehmen kann. Stellen wir uns die Sache mal vor. Wir haben eine Wolke mit Ergebnissen, also Ergebnisse eines Zufallversuchs. Und den Ergebnissen werden nun Zahlen zugeordnet. Hier ist die reelle Zahlengerade. Hier werden Zahlen zugeordnet, und zwar so, dass jede Zahl auch ein Urbild hat. Urbild bedeutet, dass hier ein Ergebnis ist und dem Ergebnis diese Zahl hier zugeordnet wird und dann hat diese Zahl dieses Ergebnis als Urbild. Es können auch mehrere Ergebnisse auf eine Zahl abgebildet werden. Und dann sind eben alle Ergebnisse zusammen, die auf diese Zahl abgebildet werden, das Urbild. Also wenn jede Zahl ein Urbild hier in dieser Ergebnismenge hat, dann ist es eine stetige Zufallsvariable. Dabei kann es sich also hier um einen endlichen Bereich der Zahlengerade handeln, oder das Intervall kann auch unendlich groß sein, oder die gesamte reelle Zahlengerade sein, das ist egal. Es gibt nun in dieser Wolke hier Ergebnisse, und wie das bei solchen Zufallsversuchen üblich ist, gibt es auch Ereignisse, und zwar Ereignisse, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Und da möchte ich einfach mal ein Ereignis anmalen, in rot. Das ist eine Menge von Ergebnissen und die Menge von Ergebnissen hat auch eine Wahrscheinlichkeit. Sagen wir mal - ich nehme irgendwas- 0,1, warum nicht. So das kann sein. Es kann nun auch sein, dass alle Ergebnisse, die sich hier in diesem roten Ereignis befinden, also in der Menge von Ergebnissen, dass die alle, auf ein bestimmtes Intervall abgebildet werden, das sonst keine anderen Ergebnisse die sich hier befinden, auf dieses Intervall hier abgebildet werden.  Wenn das so ist, na ja dann wäre es ja naheliegend diesem Intervall auch eine Wahrscheinlichkeit zuzuordnen, und zwar die Wahrscheinlichkeit, die diesem Ereignis zugeordnet wird. Also können wir das hier zusammenfassen und dem Intervall die Wahrscheinlichkeit 0,1 zuordnen. Und das kann man nun mit all den Intervallen machen, die hier solche Urbilder haben, im Sinne von Mengen von Ergebnissen, Ereignissen also, die Wahrscheinlichkeiten haben. Wenn man das also mit den Intervallen macht, mit denen das funktioniert, dann ist diese Zuordnung hier eine Wahrscheinlichkeitsfunktion oder man kann auch sagen eine Wahrscheinlichkeitsverteilung oder einfach Verteilung, der reellen stetigen Zufallsgröße. Kleine Anmerkung zu Wahrscheinlichkeitsfunktion und Wahrscheinlichkeitsverteilung: manche Autoren möchten das unterscheiden, manche sagen, es ist absolut dasselbe. Wahrscheinlichkeitsverteilung und Verteilung wird sowieso synonym gebraucht, das ist sowieso dasselbe. Man kann es sich vielleicht so vorstellen, wenn man von einer Wahrscheinlichkeitsfunktion spricht, dann hat man das Augenmerk mehr darauf, dass hier was zugeordnet wird. Wenn man von der Wahrscheinlichkeitsverteilung spricht, hat man mehr vor Augen, dass man Intervalle hat, zusammen mit den zugeordneten Wahrscheinlichkeiten. Also mehr so eine Wertetabelle hat man da vor Augen oder den Graph einer solchen Funktion. Wie auch immer man das sagen will. Also hier geht es einfach darum, dass diesen Intervallen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden. Und die Zuordnung heißt dann eben Wahrscheinlichkeitsfunktion, Wahrscheinlichkeitsverteilung oder einfach Verteilung.

Das zur Idee der ganzen Sache. Nun können wir uns vorstellen, dass es hier relativ kompliziert ist, sich das quantitativ vorzustellen. Wenn wir nur wissen, dass die Ergebnisse da in einer Wolke sind und nicht genauer darüber Bescheid wissen. Das kann auch viel einfacher gehen. Und zwar können wir uns Folgendes vorstellen: Wir haben einen Teil der reellen Achse, ein Intervall, und zwar von hier bis hier. Ein Intervall. Und wir können diese ganze Situation, die wir gerade hatten, durch eine Linie zusammenfassen, beschreiben. Zum Beispiel in so einer Linie hier. Angenommen die Fläche hier zwischen dieser Linie und dieser Achse ist =1, hat die Flächenmaßzahl 1. Angenommen es ist hier eine integrierbare Funktion, dann können wir Intervallen, Teilintervallen, die sich auf diesem Intervall befinden, Flächen zuordnen. Und zwar in Form bestimmter Integrale. Wir können zum Beispiel hier das bestimmte Integral von A bis B bilden, warum nicht. Das ist die Fläche zwischen Graph und x-Achse. Oder wir können hier auch eine Fläche bilden. Diese Flächen, oder anders gesagt, die bestimmten Integrale, haben alle Flächenmaßzahlen, die kleiner als 1 sind. Denn sie sind ja Teile der Gesamtfläche und die Gesamtfläche soll die Flächenmaßzahl 1 haben. Wir können auch mehrere Teilintervalle zu einem Intervall zusammenfassen. Oder wir können auch diesen beiden Intervallen zusammen eine Zahl zuordnen, und zwar die Summe dieser beiden Flächen hier. Und du siehst, worauf das hinausläuft. Wir haben durch eine so integrierbare Funktion ein Wahrscheinlichkeitsmaß erzeugt. Wie können den Intervallen auf diesem Teil der reellen Achse, Wahrscheinlichkeiten zuordnen, Zahlen zwischen 1 und 0 deren Summe 1 ist und die auch sonst alle Anforderungen erfüllen, die wir an Wahrscheinlichkeitsmaße stellen. Wenn also diese Situation vorliegt, dann hat diese Funktion einen besonderen Namen: sie heißt Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte oder einfach Dichte. Das ist die Grundsituation. Häufig wird die Wahrscheinlichkeitsdichte im Zusammenhang mit Zufallsvariablen oder Zufallsgrößen behandelt. Das ist von der Idee her nicht so unbedingt nötig, denn hier ging es ja auch ohne Zufallsgrößen. Aber da es in diesem Zusammenhang meistens gemacht wird, möchte ich das kurz in diesem Einführungsfilm erklären. Es könnte nun sein, dass dieser ganzen Situation hier, ein Zufallsversuch zugrunde liegt und eine Zufallsgröße, und die ordnet den Ergebnissen des Zufallsversuchs zunächst einmal Zahlen zu und dann haben wir eine Wahrscheinlichkeitsfunktion dazu. Und zwar eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, die solchen Intervallen hier genau solche Wahrscheinlichkeiten zuordnet, die hier jetzt als Fläche dargestellt sind. Das heißt also die Wahrscheinlichkeitsfunktion ordnet solchen Intervallen genau die Flächenmaßzahlen zu. Wenn das also zugrunde liegt, dann ist diese Funktion die Wahrscheinlichkeitsdichte der zugrunde liegenden Zufallsgröße. Ja, kleine Anmerkung noch dazu: Warum heißt das hier Dichtefunktion und nicht einfach Wahrscheinlichkeit? Wir haben ja hier für jede Zahl auf diesem Definitionsbereich auch einen Funktionswert, der zugeordnet wird. Kann das nicht die Wahrscheinlichkeit sein? Nein, sie kann es nicht sein, weil wir ja wissen, dass sich hier auf dem Teil der reellen Achse überabzählbar viele Zahlen befinden, wir können nicht einzelnen Zahlen Wahrscheinlichkeiten zuordnen, das funktioniert nicht.  Wir können aber Intervallen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Trotzdem haben wir aber rein menschlich den Eindruck, dass hier mehr Wahrscheinlichkeit ist, als in diesem Bereich zum Beispiel. Und deshalb hat man da ein Wort gefunden. Man sagt dann, dass hier die Wahrscheinlichkeit dichter ist, als dort. Und man kann jetzt einen Funktionswert an dieser Stelle, als Wahrscheinlichkeitsdichte an dieser Stelle interpretieren. Hier ist die Wahrscheinlichkeitsdichte höher als da. Das hat aber mehr so gefühlsmäßige Bedeutung. Für die Mathematik sind hier wichtig, dass es sich um eine integrierbare Funktion handelt und hier um bestimmte Integrale. Ja, das wars zur Einführung dieser Begriffe. Viel Spaß damit, tschüs.

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2 Kommentare
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    bis zur Wolke war alles klar... dannwird es etwas verwirrend...

    Von Angelika Reil, vor mehr als 2 Jahren
  2. Default

    Ich finde, dass das Thema sehr kompliziert erläutert wird:(( hat mir nicht so viel gebracht...

    Von Lisa Scheerer, vor fast 4 Jahren