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Transkript Vollständige Induktion

Hallo, ich bin Thomas und ich möchte euch in diesem Video die Vollständige Induktion näher bringen. Ihr werdet lernen was das eigentlich ist, wofür man das braucht und wir werden auch noch ein kurzes Beispiel durchrechnen. Ein kurzer Hinweis vorneweg: Damit Ihr das Video auch wirklich richtig verstehen könnt, sind einige Vorkenntnisse von Nöten. Dazu gehört der Umgang mit Variablen, mit Summen und den Summenzeichen und mit Gleichungen im Allgemeinen.   Sicherlich kennst Du den Begriff der Induktion auch aus anderen Zusammenhängen, wie zum Beispiel der elektromagnetischen oder der magnetischen Induktion. Die Vollständige Induktion hat damit allerdings nur das Wort Induktion gemeinsam, welches sich von dem lateinischen inductio, das Hineinführen, die Hineinführung, ableitet. Die Vollständige Induktion kommt aus dem Bereich der Mathematik und ist ein Beweisverfahren über natürliche Zahlen, d. h., damit können Aussagen auf ihren Wahrheitsgehalt überprüft werden und gelten, nach erfolgreicher Durchführung des Beweisverfahrens, danach als wahre Aussagen.   Ein einfaches Beispiel: Angenommen wir möchten die natürlichen Zahlen von 0 bis n addieren. Also ? über i, von i=0 bis n, für den Term i. Und wir vermuten, dass mit der Formel n×(n+½) genau dies für alle natürlichen Zahlen n ausgerechnet werden kann. Wir wollen also zeigen, dass die Aussage "das Ergebnis der ersten Formel ist gleich dem Ergebnis der zweiten Formel" für alle n IN gilt. Und genau an dieser Stelle hilft uns die Beweistechnik der Vollständigen Induktion. An dieser Stelle aber noch ein wichtiger Hinweis: Die Vollständige Induktion hilft uns nicht Formeln herzuleiten, sondern nur Aussagen auf ihre Richtigkeit zu überprüfen.   Die Anwendung der Vollständigen Induktion erfolgt nun in 3 Schritten: 1. Prüfen des Induktionsanfangs 2. Aufstellen der Induktionsvoraussetzung 3. Durchführung des Induktionsschrittes.   Beginnen wir mit dem ersten Schritt, dem Induktionsanfang. Dieser muss erfolgreich durchgeführt werden können, ansonsten ist der gesamte Beweis nicht erbracht. In den allermeisten Fällen wird beim Induktionsanfang in beiden Seiten der Gleichung jeweils n=1 gesetzt bzw. das kleinstmögliche Element. Für unser Beispiel ergibt sich damit: ? über i von i=0 ist gleich 1. Für den Term i=1×(1+1)/2. Wenn man das dann ausrechnet, kommt man auf die Aussage 1=1, das ist in jedem Falle eine wahre Aussage, sodass wir mit den weiteren Schritten des Beweises fortfahren können.   Wir nehmen nun an, dass die Aussage für ein spezielles n gilt. Dieser Vorgang heißt "Induktionsvoraussetzung".   Im letzten Teil des Verfahrens, dem Induktionsschritt, überprüfen wir nun die Behauptung: Wenn a(n) für ein n gilt, dann gilt es auch für deren Nachfolger, also n+1. Ich schreibe hier oben rechts zur besseren Nachvollziehbarkeit noch einmal kurz die Induktionsvoraussetzung hin, denn wir werden diese gleich benötigen. Wenn wir nun unsere Aussage n mit n+1 ersetzen, sähe das folgendermaßen aus.. Unser nächstes Ziel ist nun die Induktionsvoraussetzung wieder mit ins Spiel zu bringen. Dafür lösen wir aus dem linken Term der Summe, den Summanden n+1. Und jetzt können wir laut Induktionsvoraussetzung den verbleibenden Summenterm mit dem Term n×(n+1)/2 ersetzen. Nun gilt es nur noch, durch Umformung herauszufinden ob linker und rechter Teil der Gleichung einander entsprechen. Und nach Vereinfachung der beiden Terme sehen wir, dass tatsächlich beide gleich sind. Ja, und somit wäre der Beweis erbracht: quod erat demonstrandum.   Fassen wir noch einmal zusammen: Die mathematische Beweistechnik "Vollständige Induktion" erlaubt es uns Aussagen über die natürlichen Zahlen auf ihre Allgemeingültigkeit zu überprüfen. Zur korrekten Durchführung der Vollständigen Induktion gehört die Überprüfung des Induktionsanfangs, die Aufstellung der Induktionsvoraussetzung und die Schlussfolgerung vom Speziellen ins Allgemeine, im Induktionsschritt. So, geschafft! Ich hoffe das Video hat euch geholfen die Vollständige Induktion besser zu verstehen. Wenn Ihr noch fragen zu diesem Verfahren habt oder Kritik zum Video loswerden möchtet, dann nutzt doch bitte die Kommentarfunktion unterhalb dieses Videos auf sofatutor.com   An dieser Stelle sage ich "Tschüss!" und vielleicht bis zum nächsten Video!        

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. Default

    Mit war das zu schnell.
    Ich hatte noch nicht den Inhalt gelesen, da war er schon wieder weg.

    Von Juliastandke95, vor 4 Monaten
  2. Felix

    @Fazliu 123: Es wird die Summe über i gebildet. Wenn du nun i=0 einsetzt kommt 0 dazu als Summand. Das kannst natürlich auch weglassen und somit kannst du bei dem Summenzeichen mit i=1 statt mit i=0 starten. Dadurch wird es von der Vorstellung her einfacher.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin Buettner, vor etwa einem Jahr
  3. Default

    Habe schwierigkeiten mit dem induktionsschritt, kann man das eventuell mal mit 1 statt 0 rechnen?

    Von Fazliu 123, vor etwa einem Jahr
  4. Default

    test

    Von Bme2009, vor fast 7 Jahren