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Transkript Trapez – Umfang und Flächeninhalt

Hallo liebe Schülerinnen und Schüler. Herzlich willkommen zum Video 'Geometrie (33)'. Das Thema dieses Videos lautet: Das Trapez. Das Unterthema lautet: (b) Umfang und Flächeninhalt. Ihr könnt euch doch sicher noch an das Video 'Geometrie Teil 32' erinnern. Dort haben wir von einem Tunnel gesprochen, der einen trapezförmigen Querschnitt hatte. Der trapezförmige Querschnitt wird durch die Modellfigur, die ich hier unten aufgelegt habe, dargestellt. Folgendes Problem: Der Tunnel muss in regelmäßigen Abständen mit Sicherheitsträgern ausgelegt werden. Berechne die Länge Trägermaterial. Zunächst notiere ich die vier Seiten mit Kleinbuchstaben an das Trapez. a, b, c und d. Es ist klar, dass es sich hier um eine Aufgabe zur Berechnung des Umfangs handelt. Lösung: Man berechnet den Umfang u als Summe der Längen der einzelnen Seiten. Also: u=a+b+c+d. Vereinfachungen kann man hier nicht machen, weil alle vier Seiten verschieden sein können. Ich notiere diese Formel oben rechts. u=a+b+c+d. Ich erinnere an die Seitenlängen, die wir im vorherigen Video ausgemessen haben: a=28m b=11,5m c=14m d=12,8m Wir setzen die Werte in die Formel ein und erhalten: u=28m+11,5m+14m+12,8m. Das kann man im Kopf ausrechnen. Wir erhalten u=66,3m. Wer Schwierigkeiten hat, kann das natürlich auch schriftlich machen. Die Antwort lautet: 66,3m Trägermaterial werden benötigt.   Das zweite Problem lautet: Für die Belüftung benötigt man die Querschnittsfläche. Es ist klar, dass es hierbei um den Flächeninhalt des Trapezes geht. Die Idee eine Formel für den Flächeninhalt des Trapezes herzuleiten, besteht darin, das Trapez in ein Rechteck umzuwandeln. Wir gehen folgendermaßen vor: Oben lege ich unser Trapez auf und darunter ein kongruentes deckungsgleiches Trapez, an dem ich einige Veränderungen vornehmen werde. So, ich werde jetzt links und rechts jeweils die unteren Ecken abschneiden, das sind rechtwinkelige Dreiecke, und zwar so geschickt, dass sie oben angepasst ein Rechteck ergeben. Naja, es gibt zwar einige Probleme, aber das sind schon einmal ganz gut aus. So, links sieht es sehr gut aus und rechts klappt es auch einigermaßen. Es ist mir also gelungen, aus einem Trapez ein flächengleiches Rechteck darzustellen. Ich beschrifte nun noch die Seiten des Trapezes. Unten a, oben c. Die Länge des Rechtecks bezeichne ich als m. Ich habe die Dreiecke so abgeschnitten, dass die Enden des Schnittes genau bis zur Mittellinie m zwischen a und c verliefen. Also m ist das arithmetische Mittel aus a und c. m=(a+c)/2. Damit ergibt sich als Formel für den Flächeninhalt des Trapezes A: A=(a+c)/2×h. Ich werde diese Formel noch einmal oben notieren, damit wir sie beim Weglöschen nachher nicht vergessen. Wir kommen nun zur Lösung der Aufgabe: Wir erinnern uns: a=28m, c=14m und h=10m. Eingesetzt in die Flächeninhaltsformel des Trapezes erhalten wir: A= großer Bruchstrich 28m+14m im Zähler und im Nenner 2. Mal 10m. Das kann man noch schön im Kopf ausrechnen. 28+14=42 42/2=21 21×10, also A=210m² Die Antwort lautet: Der Flächeninhalt der Querschnittsfläche beträgt 210m².   Fassen wir somit zusammen: Zunächst möchte ich das Trapez in der Mitte links noch vollständig beschriften und die Seiten b und d eintragen. Die Umfangsformel ergibt sich dann u=a+b+c+d. Für das bessere Verständnis der Flächeninhaltsformel tragen wir zunächst die Mittellinie zwischen den beiden Strecken c und a ein: m. m ist eigentlich keine Linie, sondern eine Strecke. Wir erhalten diese Strecke als arithmetisches Mittel aus den beiden Streckenlängen a und c. m=(a+c)/2. Nun tragen wir noch die Höhe zwischen den Strecken a und c ein. Die Höhe h ist der Abstand zwischen den beiden parallelen Strecken a und c. Es ist wichtig, dass die Höhe jeweils einen Rechten Winkel sowohl mit c als auch mit a bildet. Man kann somit schreiben - schaut nach unten link: Der Flächeninhalt A=m×h. Wenn wir für m den Ausdruck in der Mitte rechts einsetzten, so erhalten wir die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes. Sie steht schon oben rechts als Merkstütze. Also A=(a+c)/2×h. So liebe Schülerinnen und Schüler. Mir hat es viel Spaß bereitet. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Bis zum nächsten Mal. Tschüss.

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8 Kommentare
  1. Default

    Ich habe alles verstanden!

    DANKE! ;)

    Von Remoundclaudia, vor 8 Monaten
  2. Default

    Super ;)))))

    Von Marc H., vor mehr als einem Jahr
  3. 001

    Ich verstehe die Bemerkung nicht, konnte keinen Fehler finden.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Bei der aufgabe müsste doch c stadt b angegeben sein

    Von Familie 18, vor mehr als einem Jahr
  5. 001

    Ich habe ihn verursacht und auch wieder gefunden.

    Von André Otto, vor fast 2 Jahren
  1. Penguins

    Ja ich habe ihn auch gefunden. Ganz am Anfang.
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    Von Chandrawali B., vor fast 2 Jahren
  2. Sarah2

    @Sniko74: Du hast Recht. Der Fehler wird schnellstmöglich korrigiert. Danke für deinen Kommentar und viele Grüße!

    Von Sarah Kriz, vor fast 2 Jahren
  3. 3194759941 1bc04df61a

    Ich habe einen Rechtschreibfehler gefunden :D es heißt 'Flächeninhalt' und nicht 'Flächeninhat'

    Von Sniko74, vor fast 2 Jahren
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