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Transkript Summen- und Komplementärregel – Aufgabe (3)

Hallo! Eine kleine Anwendungsaufgabe zu diesen Regeln hier, wir haben die allgemeine Summenregel und wir haben die Komplementärregel und wir haben schon einen Zufallsversuch, nämlich das einmalige Werfen eines Ikosaeders. Das habe ich schon groß gezeigt, das mache ich nicht noch mal. Der Ikosaeder hat 20 Seiten, jede Seite hat die gleiche Chance gewürfelt zu werden und wir haben deshalb eine Ergebnismenge, die aus den Zahlen von 1-20 besteht. Weiter haben wir Ereignisse E2, die gewürfelte Zahl ist durch 2 teilbar und  E3, die gewürfelte Zahl ist durch 3 teilbar. So und damit können wir jetzt irgendwelche lustigen Mengenoperationen machen und denen Wahrscheinlichkeiten zuordnen. Zum Beispiel, ja manchmal verwendet man die Regel, manchmal nicht, ist ja jetzt auch egal. Ich wollte jetzt nur ein paar Sachen zeigen, die hier geläufig sind. Wir könnten z.B. sagen, wir bilden das Ereignis E2 ohne E3 und bestimmen dafür die Wahrscheinlichkeit. Das hier nennt sich E2 ohne E3. Wenn du jetzt ganz sicher bist, das haben wir nie gemacht und das brauche ich nicht wissen, dann kannst du den Film ausmachen, denn es geht jetzt so munter weiter. Es ist aber meistens auch wichtig, dass du das kannst und hier kann man sich eben überlegen, was bedeutet das eigentlich. Das bedeutet, dass zu diesem Ereignis hier die Elemente gehören, die durch 2, aber nicht durch 3 teilbar sind. Das bedeutet 2 gehört dazu, denn 2 ist durch 2, aber nicht durch 3 teilbar, 6 gehört nicht dazu, denn 6 ist durch 2 und durch 3 teilbar. Wir wollen aber nur die haben, die durch 2 und nicht durch 3 teilbar sind. Das sind also wie viele Elemente? 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Da es sich hier um einen Laplace-Versuch handelt, kann ich die Wahrscheinlichkeit bestimmen, indem ich einfach angebe, wie viele Ergebnisse zu dem Ereignis gehören und dann durch die Anzahl aller Ergebnisse teile und das hier sind in dem Falle 7/20 oder das sind auch 0,35. Manche wollen es ja auch in Prozent angeben, das wären dann 35%, ist aber nicht nötig, denn auch der Bruch und diese Dezimalzahl sind ja ganz normale Zahlen. So und dann können wir so ein ähnliches Ereignis noch bilden, und zwar, mache ich auch mal eben vor: Das Ereignis E3 ohne E2 und davon können wir auch die Wahrscheinlichkeit bestimmen. P von, das sind alle die Zahlen, die durch 3, aber nicht durch 2 teilbar sind. Das sind hier diese Zahlen 3, 9 und 15, die sind durch 3 aber nicht durch 2 teilbar. Diese gehören ja nicht dazu, weil die ja durch 3 und durch 2 teilbar sind. Also kann ich einfach hinschreiben 3/20 oder auch 0,15 ist die Wahrscheinlichkeit dafür. Jetzt kommt noch eine Sache häufig vor, nämlich die Menge E2 geschnitten E3 und davon das Komplement. Also man kann sagen Komplement von E2 geschnitten E3 oder man kann auch sagen nicht E2 geschnitten E3. Was bedeutet das? Das sind, also erst mal E2 geschnitten E3, das sind diese Elemente hier, also das sind die Zahlen, die durch 2 und durch 3 teilbar sind, und das Ereignis kann man jetzt so in die Umgangssprache übersetzen, das sind also alle die Zahlen, die nicht durch beide, nämlich durch 2 und durch 3 teilbar sind, also die Zahlen, die nicht gleichzeitig durch 2 und durch 3 teilbar sind. Das kann man auch übersetzen in nicht E2 vereinigt nicht E3. Also das sind die Zahlen, die nicht durch 2 oder nicht durch 3 teilbar sind. Auch das geht. Wenn wir uns mal die Zahlen angucken, die nicht durch 2 teilbar sind, das sind alle, die keinen gelben Knopf hier haben, also die und die und die und die und die nicht durch 3 teilbar sind, sind die, die keinen grünen Knopf haben, also die sind es nicht, sondern die anderen alle. Dann sind nur die ausgenommen, die hier sind. Nur die haben wir bei der Sache nicht berücksichtigt. Wir haben nur die nicht berücksichtigt, die durch beide Zahlen teilbar sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür nicht E2 geschnitten E3 kann man nun praktischerweise mit der Komplementärregel ausrechnen, weil wir ja hier sehen, es sind 3 Zahlen, die durch 2 und durch 3 teilbar sind, also nehmen wir einfach 1 minus das Gegenereignis hiervon. Und auch das ist wieder wichtig: Das Gegenereignis des Gegenereignisses ist das Ereignis wieder selber. Also nicht nicht E2 geschnitten E3, das ist E2 geschnitten E3. Anders formuliert allgemein kann man sagen, nicht nicht E ist E. Das gilt allgemein. Also dann müssen wir einfach 1 minus die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis berechnen, das aus diesen 3 Ergebnissen besteht, also 1 minus 3/20, das sind 17/20 und das sind 0,85. Passt gerade so hin, ich zeige es eben in groß, das ist die Rechnung dazu. Das Ganze möchte ich noch für sowas Ähnliches zeigen, nämlich für das Gegenereignis der Vereinigung. Auch das ist wichtig, und zwar haben wir E2 vereinigt E3 und davon suchen wir das Gegenereignis, also nicht E2 oder E3. Was bedeutet das? Wir haben also in E2 vereinigt E3, die Zahlen, die durch 2 oder durch 3 oder auch durch beide Zahlen teilbar sind, also durch 2 teilbar, durch 3 teilbar oder durch 2 und 3 teilbar. Die sind hier drin. Das heißt, wenn wir davon das Gegenereignis bilden, dann haben wir die Zahlen da drin, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Also alle die, die hier nicht markiert sind. Also diese Zahl und die und die. Das kann man jetzt natürlich elementar abzählen, man kann aber auch einfach rechnen 1 minus die Wahrscheinlichkeit für E2 geschnitten E3. Das haben wir schon ausgerechnet, das ist 0,65, glaube ich mich erinnern zu können, ich bin nicht ganz sicher, ich meine schon. Was ich aber auch noch hier zum Besten geben möchte, ist, dass man das wieder umformen kann in nicht E2 geschnitten nicht E3. Also nicht E2 bedeutet die Zahlen, die nicht durch 2 teilbar sind, also die können durch 3 teilbar sein oder nicht, durch 3 teilbar das ist völlig egal, die dürfen nur nicht durch 2 teilbar sein. Hier ebenso, diese Zahlen in der Menge hier sind alle die Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind, und wenn man die beiden Mengen schneidet, dann kriegt man eben die Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind. Das ist dann wieder das Gleiche wie hier. Es ist wichtig, dass du solche Mengenoperationen in die normale Umgangssprache übersetzen kannst, um zu verstehen, was ist damit jeweils gemeint. Wie kann man es dann ausrechnen? Ich würde sagen, wenn der Fall so einfach ist, ich wende jetzt keine Regel an, ich zähle das Zeug ab hier und dann kann ich einfach sagen, ich habe die Vereinigung von E2 und E3 und davon das Gegenereignis und dann zähle ich das ab, das sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Zahlen, die weder durch 2, noch durch 3 teilbar sind. Ist das richtig? 3 Zahlen hier, 2 und 2 da, 7 Zahlen. Das ist also die Wahrscheinlichkeit von 7/20 und das sind, wenn man hier mit 5 erweitert also 0,35. Das ist die Wahrscheinlichkeit davon und dann stimmt das auch, mit dem was ich gerade gesagt habe, nämlich, dass die Wahrscheinlichkeit für E2 oder E3 0,65 ist, denn vielleicht, das darf ich auch noch hinschreiben, ist die Wahrscheinlichkeit von E2 vereinigt E3 plus die Wahrscheinlichkeit von nicht E2 vereinigt E3, die muss ja gleich 1 sein und da sind wir wieder bei der Komplementärregel hier. Wenn ich also hier weiß, dass die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses 0,35 ist, dann weiß ich, bis zu 1 fehlen also noch 0,65 und damit weiß ich auch, dass die Wahrscheinlichkeit hier für das komplementäre Ereignis dann 0,65 ist. Damit ist, glaube ich, die Sache dann hinreichend erklärt. Viel Spaß damit. Tschüss!

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