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Transkript Sinussatz – Höhe eines Turms

Hallo Wir sind bei der Trigonometrie und du kennst die einschlägigen Sätze, also insbesondere Sinussatz und Cosinussatz und sag ich mal die anderen Sätze, Pythagoras natürlich auch. Damit kannst du jetzt einfach alles berechnen, in allen möglichen Dreiecken. Ja, da steht dir jetzt quasi die Welt der Dreiecke offen. Hier habe ich einmal eine Aufgabe vorbereitet. Die sieht ungefähr so aus: Wir haben hier eine Höhe h und diese Höhe ist zu bestimmen. Oft ist das ein Turm oder ein Berg oder so etwas. Wir haben hier außerdem eine Strecke hier vor diesem Turm, und zwar geht die von hier bis hier. Das ist die Seite C in dem Dreieck A,B,C. Diese Seite kennen wir, die können wir nachmessen, mit einem Maßband oder so, wenn wir uns das jetzt einmal in Realität mit einem tatsächlichen Turm vorstellen. Und wir haben die Winkel unter denen wir den Turm sehen können. Diese Winkel lassen sich ziemlich genau bestimmen. Man nimmt sich ein Fernrohr und verbindet das mit einem Winkelmesser. Diese Seite kennen wir, die können wir nachmessen, mit einem Maßband oder so, wenn wir uns das jetzt einmal in Realität mit einem tatsächlichen Turm vorstellen. So sagt man das: Unter diesem Winkel sehe ich die Turmspitze.  Diese Seite kennen wir, die können wir nachmessen, mit einem Maßband oder so, wenn wir uns das jetzt einmal in Realität mit einem tatsächlichen Turm vorstellen. Es könnte ja sein, dass da irgendwelche Häuser davor stehen oder, bei Bergen ist das auch so, da kann man meistens nicht direkt bis an den Fuß des Berges dran, außerdem ist er schräg. Wie auch immer, es reicht davor eine Strecke zu messen und die beiden Höhenwinkel zu messen - diese beiden hier. Wenn man die also hat, wie kann man jetzt diese Turmspitze ausrechnen? Wie geht man an so eine Aufgabe heran? Zunächst einmal, das ist eine Taktik von mehreren, könnte man sich überlegen: Was weiß ich denn noch alles, wenn ich hier das C das β und das α' gegeben habe? Ich weiß natürlich auch α, denn α' und α sind zusammen 180°. Ja, das ist dann ja einmal hier der 180°-Winkel. Ich muss also nur 180-α' rechnen und komme auf α. Wenn ich nun α und β habe, dann habe ich hier oben auch γ. Ich weiß zwar nicht, ob ich das brauche, ist auch egal, aber das fließt mir quasi so zu, wenn ich diese beiden Winkel habe. Die Winkelsumme im Dreieck ist 180° und deshalb: γ=180- α-β.  Wenn ich also eine Seite gegeben habe und die Winkel im Dreieck, das ist so eine Grundsituation in der Trigonometrie, wie kann ich dann andere Seiten bestimmen, das ist hier die Frage. Zum Beispiel könnte es ja sein, dass ich die Seite b bestimmen möchte. Denn mir fällt auf, wenn ich b hätte, na dann habe ich hier schon einen Winkel und hier ist ein rechter Winkel, dann komm ich ja auch weiter. Dann kenne ich den Winkel da oben. Dann habe ich wieder die Situation: eine Seite bekannt und die Winkel sind auch bekannt. Dann kann ich bestimmt die andere Seite ausrechnen. Also so ist die Taktik. Jetzt zur Grundsituation. Wir haben hier ein Dreieck, wir haben eine Seite, wir haben die Winkel und möchten eine weitere Seite bestimmen. Wie macht man das? Dazu kann man den Sinussatz verwenden. Und zwar, taktisch klug, indem man mit der Seite anfängt, die man ausrechnen möchte.

Dann teilt man durch die Seite, die man schon kennt und dann muss man die jeweils gegenüberliegenden, ich sag mal salopp Sinuse, der gegenüberliegenden Winkel also ausrechnen. Das heißt wir haben hier den Sinus und hier auch noch mal den Sinus, und zwar von einmal hier dem gegenüberliegenden Winkel von b, also β - β kennen wir - und hier der gegenüberliegenden Winkel von c, also γ. Manchmal wird der Sinussatz auch formuliert als b/sinβ=c/sinγ. Aber ich glaube das siehst du, das ist das Gleiche, das muss man nicht umformulieren. Ich habe es jetzt so formuliert, es gibt da mehrere Versionen. O.k., wenn ich nun b herausfinden möchte, dann muss ich einfach mal c rechnen, die ganze Gleichung, habe dann also c×(sinβ/sinγ). Ja, ich mache das jetzt alles ohne Zahlen vor, ich glaube mittlerweile bist du so weit, dass du das nicht mehr unbedingt brauchst, dass du hier Zahlen siehst. Die Buchstaben tun es ganz genauso.  Wenn du jetzt konkrete Werte gegeben hast, dann setzt du die halt hier ein, rechnest die ganze Sache mit dem Taschenrechner aus und dann hat sich das erledigt. Das muss ich jetzt hier nicht vormachen, glaube ich. O.k., wir haben also folgende Situation gehabt, wir haben die Winkel in einem Dreieck, in einem beliebigen Dreieck und eine Seite. Wir haben die zweite Seite mithilfe des Sinussatzes herausbekommen. Die gleiche Situation finden wir jetzt in diesem Dreieck wieder. Nur damit ich es bezeichnen kann, sag ich mal D dazu. Das ist das Dreieck A,C,D. Das lässt sich jetzt nicht anders machen, ich brauche ja noch einen Buchstaben hier. Das lässt sich also auf dieses Dreieck hier auch übertragen. Wir suchen ja immer noch die Höhe h, hier in diesem Dreieck. Wir haben α', wir haben hier den 90° Winkel und dann haben wir hier auch einen Winkel und den nenne ich jetzt mal σ, warum nicht. Das ist ein σ, ich hoffe das ist gut zu erkennen, wenn nicht ist es auch egal. Also irgendein Winkel eben, der hat irgendeinen Namen. σ=90-α', denn Winkelsummen im Dreieck sind 180°. Dieser Winkel ist 90°, also müssen diese beiden zusammen auch 90° ergeben, deshalb 90-α'=σ. Dann haben wir wieder diese Situation: Alle Winkel sind bekannt und eine Seite, nämlich b. Und dann kann ich wieder den Sinussatz verwenden, und zwar möchte ich jetzt h herausbekommen. Ich fange mal mit h an. Ich teile h durch b, was anderes bleibt mir ja nicht als b, ich kenne ja keine andere Seite. Dann kommt hier der Sinus hin. Der Sinus welchen Winkels, das ist jetzt hier die Frage. Und da muss man sich eben überlegen: Hier steht immer der Sinus des gegenüberliegenden Winkels dieser Seite. h hat als gegenüberliegenden Winkel α'. Ja, es funktioniert jetzt nicht mehr mit den Bezeichnungen, das man sagt das ist die Seite c und da liegt γ gegenüber oder so etwas. Da kann man sich jetzt nicht drauf verlassen.  Die Bezeichnungen sind anders, deshalb muss man sich überlegen welcher Winkel kommt hier hin. Es ist immer der Winkel, der  dieser Seite gegenüberliegt. Also Sinus von α'. Der Winkel der b gegenüberliegt ist dieser hier, den habe ich jetzt nicht weiter bezeichnet, fällt mir gerade auf, wenn das D hier ist, müsste das σ eigentlich da sein, ist aber jetzt egal, lässt sich eh nicht anders machen. Ist auch nicht so schlimm, wenn man mehrere Bezeichnungen hat, dann kann man das nicht mehr so durchhalten, dass da jetzt bei D auch immer der Winkel σ ist und so. Der gegenüberliegende Winkel von b ist ein rechter Winkel, das heißt, wir rechnen Sinus 90°. Den bezeichne ich nicht weiter, ich habe ja die Gradzahlen schon, macht nichts. Und wenn man die Zahl berechnen möchte, dann schreibt man einfach, also man multipliziert das Ganze hier mit b. b×sinα'. Wo ist sin90° geblieben, ist weg, weil nämlich der Sinus von 90° 1 ist. Ich brauche durch 1 nicht teilen, da kommt ja immer das Gleiche raus wie vorher und deswegen kann man das weglassen. Also h=b×sinα'. Und damit ist dann die Aufgabe gelöst. Wir können dann Höhen von Türmen oder Bergen oder sonst was, Häusern, bestimmen, ohne an diese Objekte ranzugehen. Wir können das einfach machen, indem wir die Höhenwinkel messen, einfach mit einem Fernrohr gucken und den Winkel messen, den wir benötigen, um das Objekt oben sehen zu können. Und wir müssen die Strecke zwischen den verschiedenen Messpunkten messen. Ja, das ist eine sehr komfortable Situation dank der Trigonometrie, also dann viel Spaß damit. Tschüss

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1 Kommentar
  1. Default

    das Video ist richtig super!
    dankeschön!

    Von Akarama, vor etwa 3 Jahren