Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Scharen gebrochenrationaler Funktionen – Definitionsbereich, Asymptote, Symmetrie

Hallo, hier ist eine rationale Funktionenschar, fk(x)=(x2+2x+k)/(x-2). Wir wollen uns ein bisschen Gedanken machen über die elementaren Eigenschaften dieser Funktionenschar. Ich schlage folgendes Vorgehen vor: Wir überlegen uns den Definitionsbereich, der steht schon hier, sage ich gleich etwas zu. Wir gucken uns Graphen an, dieser Funktionenschar. 3. gucken wir nach der Asymptote und dann die Symmetrie. Du kannst auch anders vorgehen, ist kein Problem. Da gibt es keinen Standard, den du einhalten musst. Also, Definitionsbereich steht schon hier: D=R{2}. Beziehungsweise genauer gesagt R, also alle reellen Zahlen ohne die Menge, die die 2 enthält. Denn die "ohne" - Operation ist ja eine Mengenoperation, eine Mengenverknüpfung, das heißt, hier muss eine Menge stehen und da muss eine Menge stehen. Wenn da nur die 2 stehen würde, wäre das ja keine Menge, also steht hier die Menge 2. Ich sage das deshalb, weil das immer wieder vorkommt, dass das vergessen wird, deshalb hier noch einmal die Erläuterung dazu. Ich denke ich muss zu dem Definitionsbereich nicht viel sagen, falls x=2 ist, wird der Nenner 0. Das gilt übrigens für alle K, da ja im Nenner kein K steht, können wir hier einfach dieses x ausschließen, für das der Nenner 0 wird. 2. Punkt habe ich gesagt, Graph oder Graphen dieser Funktionenschar. Früher hat man das immer am Ende gemacht. Jetzt, da du ja Computer zur Verfügung hast, die das alles schön Zeichnen können, würde ich sagen kannst du damit anfangen. Mache ich auch so, ich gucke mir das erst mal an, ich guck mir die Funktionenschar an, ich guck mir ein paar Graphen an. Um einfach mal zu wissen, worüber wir hier überhaupt reden. Das habe ich mal vorbereitet, so sieht die ganze Sache aus. Ich hoffe es ist gut erkennbar, ein bisschen hell. Das sind mehrere Graphen dieser Funktionenschar und das verwende ich immer so als Referenz. Wenn ich jetzt hier was ausrechne, gucke ich mal, ob das hier hinkommen kann und das verschafft einen ganz guten Überblick über die Sache hier. Als 3. Punkt hatte ich die Asymptote. Rein zufällig habe ich da mal etwas vorbereitet. Wir finden Asymptoten von rationalen Funktionen, indem wir hier einfach eine Polynomdivision durchführen. Das habe ich hier mal vorbereitet. Ich glaube das muss ich nicht weiter erklären, wenn du in der Lage bist, rationale Funktionenscharen zu betrachten, solltest du schon lange in der Lage sein auch eine Polynomdivision durchzuführen. Hier ist nichts weiter zu beachten, auch wenn du das nur bei rationalen Funktionen und nicht bei rationalen Funktionenscharen gemacht hast, du kannst da eine Polynomdivision machen, wie du das gewohnt bist. Nur dass dann am Ende, irgendwas mit k rauskommt. Das hat aber hier auf die Asymptote keinen Einfluss. Also, die Asymptote ist dieser Term hier, der hier übrig bleibt. Ich nenne die Asymptote mal G(x), also g(x)=x+4, das ist eine lineare Funktion. Jeder Graph dieser Funktionenschar näher sich für betragsmäßig große x-Werte der linearen Funktion g(x)=x+4 beliebig nah an. Das kann man sich hier auch noch einmal vorstellen, einmal gucken, ob es stimmt. Wir haben hier die Funktion x+4 und es scheint, in diesem kleinen Ausschnitt tatsächlich so zu sein, dass sich da die Graphen dieser Funktion annähern. Daher sollte das also so richtig sein, wie wir hier gerechnet haben, bzw. wie ich das hier vorbereitet habe. Dann fehlt noch die Symmetrie. Wir können betrachten, die Achsensymmetrie zur x-Achse. Die Definition dafür, f(x)=f(-x). Das bedeutet eine Funktion f(x) ist genau dann achsensymmetrisch zur x-Achse, falls gilt, dass f(x)=f(-x) ist, und zwar für alle x. Das kann man jetzt hier einfach verifizieren oder falsifizieren. Man setzt halt einmal für x ein -x ein und setzt das gleich zu dem normalen Funktionsterm. Löst diese Gleichung auf und guckt was passiert. Wenn sich ein Widerspruch ergibt, oder man feststellt, dass das nicht für alle x gültig ist, dann ist die Funktion nicht achsensymmetrisch zur y-Achse. Falls man auf so eine Sache kommt, wie 0=0, oder x=x, dann ist das für alle x richtig. Dann wäre also die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Es gibt noch die Punktsymmetrie zum Ursprung. Die ist so definiert, f(x)=-f(-x). Um das nachzuweisen, bzw. das zu zeigen, dass das nicht der Fall ist, macht man fast das Gleiche wie bei der Achsensymmetrie. Man nimmt diesen Term, setzt ihn gleich einem anderen Term, und zwar schreibt man vor diesen gesamten Term das Minus Zeichen und setzt für x wieder -x ein. Ich habe bisher in Abitur- und Maturaaufgaben noch keine Symmetrie zu anderen Punkten, als zum Ursprung gesehen. Ich habe auch keine anderen Achsensymmetrien als die zur y-Achse gesehen. Deshalb behandel ich hier diese Fälle. Genauer gesagt ich behandel sie gar nicht, weil nämlich Folgendes rauskommen wird wenn man dass so macht ich wie das gerade vorgeschlagen habe. Dann bekommt man eine ziemlich große Gleichung und stellt hinterher fest, dass diese Gleichung nicht für alle x richtig ist. Das spare ich mir hier jetzt. Ich denke auch, dass du in so einem Fall jetzt im Abitur, der Reifeprüfung oder der Matura nicht nach der Symmetrie gefragt werden würdest. Also wenn es nur darum gehen würde eine riesen Gleichung zu erhalten und man hinterher  feststell, dass die Gleichung nicht für alle x richtig ist. Das ist einfach nur viel Rechenaufwand, das ist fehleranfällig, das möchte man eigentlich vermeiden in einer solchen Prüfung. Letzten Endes kannst du durch solch eine Aufgabenstellung nicht ordentlich zeigen, was du so drauf hast. Man sieht es übrigens auch hier an dieser Zeichnung, eine Symmetrie zur y-Achse liegt nicht vor, eine Symmetrie zum Ursprung liegt auch nicht vor. Es sind zwar nicht alle Graphen hier drauf, aber die  die wir hier sehen sind auf jeden Fall nicht symmetrisch zur y-Achse oder zum Ursprung. Von daher ist hier die Sache erledigt. Viel Spaß damit. Tschüss

Informationen zum Video
3 Kommentare
  1. Felix

    @Hughmoses Leopold: Da hast du vollkommen Recht ... x=2 ist eine vertikale Asymptote.

    Von Martin B., vor 16 Tagen
  2. Default

    Gibt es nicht auch eine vertikale Asymptote bei x=2?

    Von Hughmoses Leopold, vor 17 Tagen
  3. Img 20121117 215012

    Du bist der wahre Superman ! :D

    Von Furkan K., vor etwa 3 Jahren
Alle Videos & Übungen im Thema Scharen gebrochenrationaler Funktionen »