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Transkript Punktprobe – Beispiel (1)

Hallo, hier haben wir wieder einen Würfel mit eingehängtem Dreieck, hier siehst du die Daten dazu. Der Würfel hat die Kantenlänge 4 und da ist das Dreieck. Hier ist das noch mal im Modell, der Würfel mit dem eingehängten Dreieck, hier kannst du das sehen. Und gefragt ist nun Folgendes: Wir haben eine Parameterform der Ebene, in der sich das Dreieck befindet, wir haben einen Punkt mit den Koordinaten 1/6, 7/2 und 1/3 und wir sollen nun prüfen, ob sich dieser Punkt in der Dreiecksebene befindet. Gemeint mit der Dreiecksebene ist natürlich diese große ganze Ebene, nicht etwa hier innerhalb des Dreiecks oder so was in der Richtung.  Ja, wie macht man so was? Man setzt einfach diesen Punkt in diese Ebenengleichung ein und guckt mal, was passiert. Also, wenn dieser Punkt in dieser Ebene liegt, dann muss dieser Punkt diese Gleichung erfüllen. Das heißt, es muss ein λ und ein μ geben, sodass diese Gleichung erfüllt ist. Ich setze es einfach ein, lange Rede, kurzer Sinn, also jetzt wird eingesetzt. Und zwar 1/6, 7/2 und 1/3. Ja, das muss man so groß schreiben, sonst kann man es nicht erkennen. Auch für dich im Heft manchmal muss man eben viel Platz aufwenden. Und das soll gleich sein (0|0|4)+λ×(1|0|-1)+μ×(0|1|-1). So, das ist die Gleichung.  Lambda und My kommen vor, wir müssen Lambda und My bestimmen, wenn das gelingt, sodass die Gleichung dann richtig ist, dann liegt dieser Punkt in dieser Ebene. Koordinatenweise bedeutet das 1/6=0+λ×1+μ×0. Daraus folgt ganz einfach 1/6=λ. Ja, hier ist ja eine 0, da ist eine 0, also hier steht einfach 1/6=λ. 7/2=0+λ×0+μ×1. Das bedeutet, 7/2=μ. Ja, das ist jetzt sehr praktisch, dass man das alles direkt ablesen kann, natürlich, aber so macht man das halt. Das ist das allgemeine Verfahren, ansonsten, wenn jetzt hier überall noch Zahlen ungleich 0 stehen würden, müsste man halt ein bisschen mehr umformen. Aber hier ergibt es sich, das ist gleich alles so und das ist dann sehr praktisch. Ja, jetzt muss ich nur nch gucken, ob das herausgefundene Lambda und das herausgefundene My zu dieser 3. Gleichung passen, die dann also da lautet: 1/3=4+λ×(-1), das heißt also -1/6, plus μ×(-1), also -7/2, ja, und wenn man jetzt ein bisschen Bruchrechnung kann, braucht man das auch nicht in den Taschenrechner eintippen. Ich rechne nämlich hier in Gedanken plus 1/6 auf beiden Seiten. Dann steht hier schon mal also 1/3+1/6, dann weiß ich genau, 1/3 das sind 2/6, 2/6+1/6=1/2. Also 0,5. Ja, ich schreib das jetzt als Dezimalzahl, ist ja völlig egal. Dann rechne ich noch im Kopf hier plus 7/2, also plus 3,5. 7/2 sind ja 3,5 und dann brauche ich auch nichts erweitern oder sonst was machen. 0,5+3,5=4, das heißt, die Gleichung geht auf. Es gibt ein Lambda und ein My, sodass diese Gleichung hier richtig ist. Folglich liegt der Punkt 1/6, 7/2, 1/3 in der Dreiecksebene, also in dieser Ebene. Das war zu zeigen, Lösung haben wir überprüft. Damit ist das hier erledigt. Viel Spaß damit, tschüss.

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