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Transkript Prinzip der Inklusion-Exklusion

Hi, dieses Video bietet eine kleine Übungsrunde zur Inklusion - Exklusion. Am Besten, ihr seht euch das andere Video davor an und versucht, das mal selber zu machen. Vor dem Abi wurden Schüler befragt, für welche ihrer 3 Fächer (Mathe, Physik und Englisch) sie bereits gelernt hatten. Jedes Fach wurde je 120x angekreuzt. Das heißt, wenn man alle Zettel zusammenzählt und alle Kreuze zählt, dann wurde jedes Mal jedes Fach 120x angekreuzt. 30 Blätter hatten ein Kreuz bei Mathe plus Physik, 36 bei Mathe und Englisch und 40 bei Englisch und Physik. 10 Zettel hatten Kreuze für alle 3 Fächer. Wie viele Zettel wurden abgegeben? Stellt euch das Ganze so vor: Es wurde die Befragung durchgeführt, auf jedem Zettel gab es 3 Möglichkeiten und insgesamt, wenn man alle Kreuze zusammenzählt, dann waren das 120 von jedem Fach. Das heißt, wenn jeder Zettel ein Kreuz bei Mathe hätte, ein Kreuz bei Englisch und ein Kreuz bei Physik, dann könnten es 360 sein. Aber es waren ja weniger, weil es auch Zettel gab, die an 2 Stellen Kreuze hatten, oder 10 sogar an 3 Stellen. Und jetzt die Frage: Wie viele Zettel wurden insgesamt abgegeben? Es gab übrigens keinen Zettel mit keinem Kreuz. Falls das noch nicht klar ist, es geht hier um Mengen und die Anzahl aller Kreuze in Mathe war genauso wie die Anzahl aller Kreuze in Englisch, genauso wie die Anzahl aller Kreuze für Physik 120. 30 Zettel hatten ein Kreuz bei Mathe und bei Physik, also Schnittmenge. Für Mathe und Englisch hatten 36 Personen schon gelernt, für Englisch und Physik schon 40, und 10 Leute, die Schnittmenge von allen Fächern, waren für alle 3 Fächer vorbereitet. Gesucht ist jetzt die Vereinigung dieser 3 Mengen. Also, wie viele Zettel wurden abgegeben mit mindestens 1 Kreuz drauf und das bedeutet, Vereinigung dieser 3 Mengen, aber das sind jetzt nicht 360. Wenn ihr wollt, könnt ihr jetzt anfangen. Bevor ich euch das Inklusion - Exklusion - Verfahren zeige, zeige ich euch erst mal eine grafische Lösung - halb grafisch und halb rechnerisch. Hier haben wir unsere 3 Mengen Mathe, Englisch und Physik und jetzt füllen wir das Ganze aus. Wir wollen ja die Vereinigung dieser Mengen bestimmen. Das lösen wir, indem wir von innen nach außen vorgehen. Zuerst einmal die Schnittmenge aller 3 Mengen. Englisch, Mathe und Physik schneiden sich alle hier drin. Das sind gleich 10. Mathe und Englisch sind 36. Also das hier sind 36, 10 sind schon hier, bleiben also hier noch 26. Diese Leute haben für Mathe und Englisch gelernt, aber nicht für Physik gelernt. Denn alle, die für Mathe, Englisch und Physik gelernt haben, haben ja auch für Mathe und Englisch gelernt. Hier, Mathe und Physik: 30 Leute. Das hier sind also 30. 10 sind aber schon hier, bleiben hier noch 20. Hier Englisch und Physik: 40 Leute, 10 sind schon hier, bleiben hier aber noch 30. 120 Leute haben für Mathe gelernt. Alles oberhalb von dem hier sind die Leute, die nur für Mathe gelernt haben, also noch keinen Plan von Englisch oder Physik haben und auch nicht von Englisch und Physik. Das sind dann also 120-10-20-26, also 120-56=64. Da bedeutet, 64 Leute haben nur für Mathe gelernt, die haben noch nichts von den anderen Fächern. Physik sind ja auch wieder 120, also die Anzahl der Elemente von Physik. Ein Element ist in dem Fall ein Kreuz. Jetzt rechnen wir 120-60=60. Und für Englisch noch mal dasselbe. 120-66=54. Die Vereinigungsmenge erhalten wir, wenn wir alle diese Zahlen jetzt aussummieren. Streng genommen die Menge der Leute, die Mathe gelernt haben aber noch nicht Englisch, Physik oder Englisch und Physik mit den Leuten, die Mathe und Englisch gelernt haben, Mathe und Physik gelernt haben, Mathe, Englisch und Physik gelernt haben, Englisch und Physik gelernt haben, nur Physik gelernt haben und nur Englisch gelernt haben. Die summieren wir alle auf und rechnen das Ganze zusammen, dann kann man vorteilhaftes Rechnen noch mal üben: 64+26=90+10=100, 50+60=110 +54=264. Es wurden also 264 Zettel abgegeben. Das war die grafische Lösung, aber es gibt auch noch eine schriftliche. MvEvP=Mathe+Englisch+Physik. Aber jetzt müssen wir aufpassen, nichts doppelt zu zählen. Das heißt, wir ziehen die Schnittmenge hiervon, und die Schnittmenge davon und die Schnittmenge hiervon wieder ab. Jetzt haben wir die Schnittmenge von allen Dreien insgesamt dreimal abgezogen. Also hätten wir jetzt praktisch so ein Ding hier, mit der leeren Mitte und das müssen wir jetzt nur noch füllen. Jetzt nur noch die ganzen Werte einsetzen: Hier setzen wir dreimal 120 ein = 360-30-36-40 also +106 +10. Und das ergibt wieder 264.

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Default

    Sehr gut, weiter so

    Von Deleted User 17991, vor fast 6 Jahren
  2. Default

    was für ein anderes video davor?

    Von Segelmacher, vor mehr als 6 Jahren