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Transkript Ortslinie und Ortskurve – Beispiel

Hallo! Wir kennen schon das Verfahren, wie man Ortskurven bestimmt. Hier hab ich es aufgeschrieben für die Ortskurve der Extrema einer Funktionenschar. Und dieses Beispiel nachher, das sieht halt so aus wie Parabeln die da alle auf einer Geraden ihre Minima haben. Und das möchte ich jetzt mal hier als Beispiel vorstellen. Wir haben eine Funktionenschar, die folgendermaßen definiert ist. Wir haben fk(x), das soll sein =(x-2k)2+k. Das ist unsere Funktionenschar und ich glaube, dir fällt gleich auf, wir haben hier quadratische Funktionen vorliegen, und das ist auch gleich die Scheitelpunktform. Ich schreibe es der Vollständigkeit halber noch auf, falls du das vergessen haben solltest. Die Scheitelpunkte dieser Funktionenschar liegen also bei 2k und k. x- und y-Koordinate, jeweils. Und so, wie ich das hier aufgemalt habe, glaube ich, ist also unschwer zu erkennen, das sind diese Parabeln, die durch diese Funktionenschar definiert werden und hier ist diese Ortslinie der Minima. Wie können wir jetzt dieses Verfahren anwenden, was ich hier schon allgemein gezeigt habe? Nun, wir müssen also die 1. Ableitung hier gleich 0 setzen. Die 1. Ableitung fk'(x)=, nun, wenn wir das ausmultiplizieren, haben wir hier vorne x2 stehen, das ist also 2x, und nach binomischer Formel bekommen wir dann also (x2-2×2k+2k)2. Das sind also -4k, in der Ableitung hier und alles andere enthält nur ein k, ist also für ein bestimmtes k an diesem Fall hier eine Konstante. Und die Ableitung dieser Konstanten ist dann 0. Das brauche ich hier nicht mehr hinschreiben, hier ist die Ableitung. Wenn ich jetzt diese Ableitung gleich 0 setze, diesen Term gleich 0 setzte, dann kann ich den nach k auflösen. In diesem Fall klappt das. Wir kriegen etwas Eindeutiges heraus, und zwar kriegen wir dann heraus k=(1/2)x. Und jetzt muss ich noch - ich hoffe, das ist kein Problem, muss ich nicht weiter vormachen, nicht wahr. Jetzt muss ich noch dieses k hier in diesen allgemeinen Funktionsterm einsetzen. Also haben wir f(1/2)x(x) und das sieht dann folgendermaßen aus: Klammer auf, das x setze ich ganz normal ein, wie immer. Aber das k, wie das in den Büchern steht, wird substituiert, durch das, was wir hier herausgefunden haben. Also, ich setze für k=(1/2)x ein und bekomme dann -2×1/2x)2, und hier hinten steht noch +(1/2)x. So, das ist das Eingesetzte. Jetzt habe ich hier keinen Platz mehr, dann schreibe ich auf Grün weiter. Das, was hier herauskommt, ist einfach f(1/2)x(x)=(1/2)x=y. Dass das jetzt hier (1/2)x und (1/2)x das Gleiche ist, das ist ein Zufall, das ist keine Regelmäßigkeit. Also, dass hier letzten Endes, dieses Ding, was hier steht, das ist unsere Funktionsgleichung y=(1/2)x. Und ich glaube, es ist unschwer zu erkennen, der Graph der Funktion y=(1/2)x ist diese Linie hier, diese Gerade, die durch den Nullpunkt führt und die Steigung 1/2 hat. Noch mal als Anmerkung. Hier hat es geklappt. Das klappt nicht immer. Aber das ist erst mal die Methode, wie man sie in den Fällen, die du in Aufgaben bekommen wirst, wahrscheinlich, anwenden kannst. Viel Spaß damit, tschüss!

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