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Transkript Newton-Verfahren – Herleitung der Iterationsvorschrift

Newton-Verfahren- Herleitung der Iterationsvorschrift

Hallo und herzlich willkommen. Es existieren Funktionen deren exakten Nullstellen ihr mit den bisherigen Rechenverfahren noch nicht ermitteln könnt. Aus diesem Grund wollen wir dir heute ein Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung von Nullstellen zeigen. Es heißt: Newton-Verfahren.

Du kennst sicherlich schon das Verfahren der Intervallhalbierung. Dir ist dann auch bekannt, dass dort die Konvergenzgeschwindigkeit recht gering ist. Wenn man mit Hilfe der Intervallhalbierung zum Beispiel die Nullstelle der Funktion f von x gleich x hoch 3 plus x hoch 2 plus 2 bestimmen möchte, so dauert das ziemlich lange. Auch hilft uns hier das Verfahren der Polynomdivision nicht weiter, da die Funktion nur eine Nullstelle hat, die zudem nicht ganzzahlig ist. Dies kannst du am Graphen der Funktion erkennen.

Hier hilft uns das Newton-Verfahren weiter. Schauen wir uns dazu einmal das folgende Bild an. Du siehst hier eine Funktion mit einer Nullstelle. An der Stelle x0 wurde die Tangente am Graphen durch den Punkt P0 eingezeichnet. An der Stelle x1 schneidet die Tangente die x-Achse. Wie du siehst, liegt x1 näher an der Nullstelle des GRaphen als x0.

Wenn man nun die Tangente der Funktion f an der Stelle x1 einzeichnet, dann würden wir einen neuen Schnittpunkt der x-Achse an der Stelle x2 erhalten. x2 liegt noch näher an der gesuchten Nullstelle der Funktion f.

Dieses Verfahren können wir nun endlos oft wiederholen und werden immer näher an die Nullstelle rücken. Da die Tangenten eine so große Bedeutung bei diesem Annäherungsverfahren an die Nullstelle hat, wird es auch als Tangentenverfahren bezeichnet.

Bisher haben wir aber nur eine zeichnerische Lösung des Problems gefunden. Zur Berechnung benötigen wir aber eine allgemeingültige Formel, die wir nun entwickeln.

Betrachten wir dazu alleine die Tangente durch den Punkt P0 an der Stelle x0. Damit wir die Stelle x1, an der die Tangente die x-Achse schneidet, berechnen können, benötigen wir die Tangentengleichung. Wir wissen, dass die Tangentengleichung die Form einer linearen Gleichung f (x)= mx + b besitzt, wobei m der Anstieg und b die y-Achsenverschiebung ist.

Wir wissen, dass f strich von x0 die Steigung der Tangente ist. Die y-Achsenverschiebung b müssen wir allerdings erst noch bestimmen. Dies wollen wir nun tun. Wir wissen, dass f an der Stelle x0 sich berechnen lässt durch f von x0 gleich f strich von x0 mal x0 +b. Diese Gleichung lösen wir nun nach b auf und erhalten damit den gesuchten y-Achsenabschnitt der Tangentenfunktionsgleichung: b gleich f von x0 minus f strich von x0 mal x0.

Als Funktionsgleichung der Tangente erhalten wir damit: t von x = f strich von x0 mal x + f von x0 - f strich von x0 mal x0

Um nun aber x1 zu bestimmen, betrachten wir die Stelle, an der die Tangente die x-Achse schneidet und damit den y-Wert 0 annimmt. Unser Ansatz lautet t(x)=0. Wir erhalten 0 = f strich von x0 mal x1 plus f von x0 minus f strich von x0 mal x0

Diese Gleichung dividieren wir im ersten Schritt durch f strich von x0 und erhalten 0 gleich x1 + f von x0 geteilt durch f strich von x0 minus x0. Als nächstes addieren wir auf beiden Seiten x0 und subtrahieren von beiden Seiten f von x null durch f strich von x null. Wir erhalten am Ende x1 gleich x0 - f von x0 geteilt durch f strich von x0.

Damit haben wir die Stelle x1, an dem die Tangente die x-Achse schneidet berechnet. Wiederholen wir nun das Verfahren und bilden die Tangente an der Stelle x1, dann können wir die Stelle x2 berechnen. Auf diese Weise erhalten wir x-Werte, die immer näher an die gesuchte Nullstelle rücken.

Da man das Verfahren ja immer wieder anwenden kann und dann die berechneten Werte neu einsetzt, machen wir eine allgemeingültige Formel aus unserer Formel für x1. Wir ersetzen x0 mit x n und x1 mit x n+1 und erhalten die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens: x n+1 = x n - f von x n durch f strich von x n.

Damit du verstehst, wie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens angewendet wird, betrachten wir noch einmal unser Startbeispiel f von x = x hoch 3 + x hoch 2 +2.

Für das Newton-Verfahren brauchen wir die 1. Ableitung der Funktion. Sie heißt f strich von x gleich 3x hoch 2 + 2x.

Nun müssen wir f von x und f strich von x in die Iterationsvorschrift x n+1 = x n - f von x n durch f strich von x n einsetzen und erhalten x n+1 = x n - xn hoch drei + xn hoch 2 + 2 geteilt durch 3 mal xn hoch 2 + 2xn.

Zu Beginn musst du einen Startwert bestimmen, ein x0, das du als ersten Wert in die Iterationsvorschrift einsetzt. Wir wählen als Startwert x0 gleich -1. Setzt du für x0 -1 in die Iterationsvorschrift ein, erhälst du für x1 gleich -1 - f von -1 geteilt durch f strich von -1 gleich -1 - 2 geteilt durch 1 ist gleich -1 - 2 gleich -3.

Wenn wir den Wert von x1 nun in die Iterationsvorschrift einsetzen, dann erhalten wir auf dieselbe Weise für x2 gerundet -2,238. Diesen Wert setzen wir wieder in die Iterationsvorschrift ein und erhalten für x3 gerundet -1,836. Diesen Wert setzen wir wieder in die Iterationsvorschrift ein, um den Wert für x4 zu erhalten: Er beträgt gerundet -1,709. Ein letztes Mal setzen wir nun diesen Wert in unsere Iterationsvorschrift ein und erhalten für x5 gerundet -1,696.

Wie du siehst, unterscheiden sich die Werte von x4 und x5 kaum noch. Das bedeutet, dass wir schon sehr nah an der Nullstelle der Funktion f sind.

Zur Probe setzen wir den Wert von x5 in unsere Funktionsgleichung ein. f von -1,696 = -1,696 in Klammern hoch 3 + -1,696 in Klammern hoch 2 + 2 = -0,002, also fast Null. Wir haben die Nullstelle damit also bereits näherungsweise bestimmt.

Wenn wir uns unseren Graphen noch einmal anschauen, so sehen wir, dass natürlich auch unmittelbar in der Nähe der Stelle x5 = -1,696 die Nullstelle der Funktion f ist.

Ich hoffe, dass du die Herleitung der Iterationsvorschrift verstanden hast und damit noch viele Nullstellen bestimmen wirst! Ich wünsche dir noch einen schönen Tag!

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2 Kommentare
  1. Felix

    @Timmermann Um: Da hast du gut aufgepasst. Es müssen gewisse Voraussetzungen erfüllt sein, damit das Newton-Verfahren tatsächlich funktioniert. Die Nullstelle kann approximiert werden, wenn beispielsweise folgende drei Bedingungen erfüllt sind:
    1.) Der Startwert liegt in der Nähe der gesuchten Nullstelle.
    2.) Die Funktion f ist differenzierbar.
    3.) Die erste Ableitung f’ sollte in der Nähe der Nullstelle ungleich Null sein.
    Die letzte Bedingung sichert damit, dass f'(xn) nicht Null wird.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
    Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.

    Von Martin B., vor mehr als einem Jahr
  2. Default

    Es kann aber sein, dass man gar nicht durch f´(xn) teilen kann!!!!

    Von Timmermann Um, vor mehr als einem Jahr