Textversion des Videos

Transkript Nachweis gleichseitiges Dreieck

Hallo, wir haben folgende Situation: Ein Würfel ist gegeben, mit der Kantenlänge 4, hier sind die Koordinaten der ganzen Eckpunkte. Aber ich glaube, das sieht man so, die kommen erst einmal weg, die brauchen wir jetzt nicht. Außerdem sind die Seitenmitten gegeben, M1 und M2 und das Dreieck M1, M2, E ist gegeben. Da ist es. Ich hab das hier noch mal als Anschauungsobjekt. Ich drehe das mal, vielleicht sieht man es dann besser. Also hier ist der Würfel und diese beiden gelben Punkte hier sind die Seitenmitten. Und da ist das Dreieck, das die beiden Seitenmitten mit diesem oberen Eckpunkt verbindet. Ich hoffe, das ist halbwegs erkennbar. Dann möchte ich jetzt die Aufgabe stellen: Weisen Sie nach, dass das Dreieck M1, M2, E ein gleichseitiges Dreieck ist. Da muss man noch mal kramen, wie war das mit den gleichseitigen Dreiecken? Naja, wie der Name schon sagt, alle Seiten sind gleich lang. Es macht Sinn sich hier noch einmal zu überlegen, muss ich das nachweisen, oder geht das irgendwie einfacher, geht das schneller? Du kannst dich daran erinnern, wenn ein Dreieck nur 60° Innenwinkel hat, dann ist es auch gleichseitig. Das heißt, du könntest entweder nachweisen, dass diese Strecken hier alle gleich lang sind, die Strecke von M1 nach M2, die Strecke von M2 nach E usw. und du könntest auch zeigen, dass die Winkel alle gleich groß sind, bzw. alle =60° sind. Ich würde vorschlagen, es ist das Einfachste, du zeigst, dass die Seiten tatsächlich gleich lang sind. Und wie geht das? Wird jetzt hier eigentlich nur abgefragt, dass du Streckenlängen bestimmen kannst, bzw. Längen von Vektoren bestimmen kannst? Wenn du zum Beispiel die Länge der Strecke M1 E bestimmen möchtest, dann nimmst du den Ortsvektor von E, der ist 004, das geht ja direkt vom Ursprung die Z-Achse entlang und ich brauch den Ortsvektor des Punktes M1. Hier sind wir 2 in X-Richtung gegangen, 0 in Y-Richtung und 2 in Z-Richtung. Die beiden ziehe ich jetzt voneinander ab und erhalte den Vektor, der von M1 zu E führt. Ich weise noch mal darauf hin, wenn ich den Vektor haben möchte, der von M1 zu E führt, muss ich E-M1 rechnen. Das ist diese umgekehrte Reihenfolge. Jetzt gehts los: 0-2=-2, 0-0=0 und 4-2=2. Wenn ich also die Länge dieses Vektors bestimmen möchte, des Vektors -2,0,2, dann muss ich die Koordinaten quadrieren, die Summe bilden und diese Summe radizieren, das heißt umgangssprachlich unter die Wurzel packen und dann erhalte ich die Länge. Also die Länge eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate. Das hab ich schön gesagt. Die Länge ist dann der Betrag des Vektors M1E=\sqrt(-2)2+02+22. Ich schreib das alles stumpf aus, damit es hinterher keine Klagen gibt. (-2)2=4, 22=4, das darf man ruhig wissen. 4+4=8. Hier steht also \sqrt8. Da du teilweise das Wurzelziehen beherrschst, kannst du das auch noch hier anwenden. Hier steht ja 4×2=8. Und die \sqrt4=2. Also ist \sqrt8=2×\sqrt2. Das schreib ich nicht noch einmal alles hin, wie das jetzt mit den Wurzelgesetzen ist. Wenn du da unsicher bist, schau da bitte noch einmal nach, beim teilweisen Wurzelziehen. Auf jeden Fall haben wir als Länge von M1E \sqrt8, bzw. 2×\sqrt2. Und das müsste ich natürlich noch für M1M2 machen und für M2E. Das mache ich jetzt nicht mehr vor. Das wäre fast dieselbe Rechnung und dann wüsste man, dass alle Seiten gleich lang sind. Mir reicht das so, mehr ist nicht zu zeigen. Viel Spaß damit, bis bald, tschüss.

Informationen zum Video