Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Multiplikation mithilfe von Mengen

Hallo, in diesem Video möchte ich wieder eine Frage beantworten, die Frage kam von Katharina und Katharina wollte etwas über die Definition der Multiplikation von natürlichen Zahlen mit Hilfe von Mengen wissen. Und los geht es. Wir wollen jetzt man die natürlichen Zahlen als gegeben voraussetzen, das ist nicht unbedingt so, die kann man nämlich auch über Mengen einführen, aber wir wollen jetzt mal sagen, dass die natürlichen Zahlen also schon da sind. Dann ist ein Repräsentant einer natürlichen Zahl n eine Menge A mit n Elementen. Das schreibt man dann so, und das card steht für Kardinalität. Das hier wäre also zum Beispiel ein Repräsentant der Zahl 4. So die erste Definition von Katharina lautet: Seien m und n natürliche Zahlen und Ai paarweise disjunkte Repräsentanten von n. Das heißt jedes Ai hat n Elemente, aber je 2 haben kein Element gemeinsam. Es gibt also kein Element, das in 2 dieser Mengen drin ist. Und bei den Mengen Ai ist erst mal nicht ganz klar, wie viele das sind, aber das müssen eigentlich m Verschiedene sein, denn es geht ja um die Multiplikation von m und n. Dann wird definiert, m×n ist die Kardinalität der Vereinigung der Mengen a1 bis a(m). Das ist also eine Vereinigung disjunkter Mengen. Und wenn jede dieser m Mengen n Elemente hat, von denen keins doppelt vorkommt, kann man sich schon vorstellen, dass die Vereinigung dann m×n Elemente hat. Und wenn man das jetzt nicht so ganz versteht, dann ist es am besten man veranschaulicht sich das mal an einem Beispiel. Nehmen wir mal n=2 und m=3, dann wären das zum Beispiel die Mengen a1, a2 und 3 von denen jede ein Repräsentant von 2 ist. Die bestehen nämlich immer aus 2 Elementen und deren Vereinigung ist dann quasi die Menge, die aus allen diesen Elementen besteht. Und das sind dann natürlich 6 Elemente. So, die 2. Definition von Katharina ist die Folgende: Seien klein m und klein n natürliche Zahlen, groß M ein Repräsentant von klein m und groß N und klein n. Dann wird definiert m×n ist die Kardinalität von (M×N). Und das ist das kartesische Produkt von M und N und da ist eben der Unterschied der beiden Definitionen. Das kartesische Produkt ist was ganz Anderes, als die Vereinigung disjunkter Mengen. Wenn wir als Beispiel wieder die gleichen Zahlen von eben nehmen, dann könnte das die Menge groß M sein, und das die Menge groß N. Die Menge M×N besteht dann aus allen geordneten Paaren, die man bilden kann, jeweils aus einem Element der Menge n und einem Element der Menge m. Die Elemente des kartesischen Produkts sind also Paare, wobei jedes Paar ein Element aus der einen Menge und eins aus der anderen enthält. Und wenn man alle diese Kombinationen durchgeht, die es da gibt, sieht man auch ein, dass das unserer Vorstellung von m×n entspricht, also hier 6 Elemente. Beide Definitionen entsprechen also unserer Vorstellung vom Multiplizieren, aber bei der einen haben wir eine disjunkte Vereinigung von Mengen und bei der anderen haben wir ein kartesisches Produkt von 2 Mengen. Das sind also auf keinen Fall die gleichen Mengen, aber ihre Kardinalität ist gleich. Das wars.

Informationen zum Video