Logarithmusgesetze 06:20 min

Textversion des Videos

Transkript Logarithmusgesetze

Hallo! In diesem Video geht es um die Logarithmengesetze. Als 1. betrachten wir die Produktregel. Sie besagt, dass Logarithmus eines Produkts als Summe der Logarithmen berechnen werden kann. Also loga(x×y)=logax+logay. Diese Regel ist leicht zu beweisen. Wir bezeichnen den Logarithmus von x zur Basis a mit u und den Logarithmus von y zur Basis a mit v. Nach der Definition des Logarithmus gilt dann, x=au und y=av. Wir bilden nun das Produkt xy, das ist gleich au×av und das ist natürlich gleich au+v. Also wir haben: x×y=au+v. Nach der Definition des Logarithmus heißt das, dass der Logarithmus von x×y zur Basis a=u+v. Die Variablen u und v waren in den ersten beiden Gleichungen definiert, wenn wir nun diese Werte für sie einsetzen, so bekommen wir das Gewünschte. Wir betrachten ein Beispiel. log2(8×8)= wir wenden jetzt die Produktregel an, Logarithmus von 8 zur Basis 2 + Logarithmus von 8 zur Basis 2. Das ist gleich 3+3=6. Als nächstes betrachten wir die Quotientenregel. Sie besagt, dass der Logarithmus des Quotienten x durch y zur Basis a = dem Logarithmus von x zur Basis a - Logarithmus y zur Basis a. Der Beweis dieser Regel ist sehr ähnlich dem der Produktregel. Wir bezeichnen den Logarithmus von x zur Basis a mit u und den Logarithmus von y zur Basis a mit v. Nach der Definition des Logarithmus gilt dann: x=au und y=av. Wir bilden nun den Quotienten: x/ y=au/av=au-v. Also, wir haben: x/y=au-v. Nach Definition des Logarithmus gilt dann, dass der Logarithmus von x÷y zur Basis a = u-v. Für u und v setzen wir nun die Werte aus den ersten beiden Gleichungen ein und so bekommen wir das Gewünschte. Wir betrachten ein Beispiel. Der Logarithmus von 27÷9 zur Basis 3 = wir wenden jetzt die Quotientenregel an, dem Logarithmus von 27 zur Basis 3 - Logarithmus von 9 zur Basis 3, das ist gleich 3-2=1.

Nun betrachten wir die Potenzregel. Sie lautet wie folgt: logaxn=n×logax. Der Beweis dieser Regel ist noch leichter als die ersten 2. Logarithmus von xn zur Basis a kann man schreiben als Logarithmus von x×x usw. n-mal zur Basis a. Im Logarithmus steht nun ein Produkt und wir können die schon bewiesene Produktregel anwenden. Auf diese Weise bekommen wir Logarithmus von x zu Basis a + Logarithmus von x zu Basis a + usw. insgesamt n-mal. Diese Summe lässt sich natürlich als n-mal-Logarithmus von x zur Basis a schreiben. Damit haben wir die Potenzregel bewiesen. Auch hier betrachten wir ein Beispiel. Logarithmus von 910 zur Basis 3 = wir wenden jetzt die Potenzregel an, 10×Logarithmus von 9 zur Basis 3. Das ist gleich 10×2=20. Zum Schluss betrachten wir nun die Basiswechselregel. Diese Regel, wie der Name schon sagt, lässt den Logarithmus mit einer anderen Basis schreiben. Sie lautet: logax=logbx/logba. Diese Regel wollen wir auch beweisen. Dafür bezeichnen wir den Logarithmus von x zur Basis a mit u und den Logarithmus von x zur Basis b mit v. Nach der Definition des Logarithmus gilt dann: au=x und bv=x. D.h., wir können au und bv gleichsetzen. Für u und v setzen wir nun die Werte aus den ersten beiden Gleichungen ein. aLogarithmus von x zur Basis a=bLogarithmus von x zur Basis b. Nun bilden wir auf beiden Seiten den Logarithmus zur Basis b und bekommen eine recht komplizierte Gleichung: logbalogax=logbblogbx. Jetzt können wir die schon bewiesene Potenzregel benutzen und bekommen damit: logax×logba=logbx×logbb. Da der Logarithmus von b zur Basis b gleich 1 ist, können wir ihn einfach wegwischen. Nun dividieren wir die beiden Seiten der Gleichung durch Logarithmus von a zur Basis b und bekommen damit das Gewünschte: logax=logbx/logab. Die Basiswechselregel ist damit bewiesen. Wir betrachten ein Beispiel zu dieser Regel. Logarithmus von 16 zur Basis 4= wir wenden jetzt die Regel an und wechseln zur Basis 2, Logarithmus von 16 zur Basis 2 dividiert durch Logarithmus von 4 zur Basis 2. Das ist: 4/2=2. Das wars zu den Logarithmengesetzen. Vielen Dank für ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.

Informationen zum Video
6 Kommentare
  1. Felix

    @Juliastandke95: Wenn dir das Video zu schnell war, kannst du dir auch die einzelnen Logarithmusgesetze nochmals im Detail erklären lassen. Unter dem Video findest du den Bereich "Transkript" und rechts davon den Bereich "Alle Videos & Übungen im Thema". Dort findest du die passenden Videos. Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin Buettner, vor etwa einem Monat
  2. Default

    Mir ist das Video viel zu schnell und monoton gewesen.
    Unterschiedliche Farben wären zur Übersicht auch nicht schlecht.
    Mein Tutor ist es jedenfalls nicht, ich musst dauernd pausieren und zurückgehen um mitzukommen. Dann kann ich auch einfach eine Formelsammlung durchlesen, bringt genauso viel.
    Schade, aber vielleicht kann ein anderer Tutor das Thema ja nochmal ruhiger und übersichtlicher erklären?

    Von Juliastandke95, vor etwa einem Monat
  3. Sarah2

    @ Steffen K.: Der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3, denn 3 ist die Zahl, mit der man die Basis, in diesem Falle 2, potenzieren muss, um 8 zu erhalten. Wenn du weitere Fragen dazu hast, wende dich bitte an unseren Mathe-Fachchat, der täglich von 17-19 Uhr online ist. Viele Grüße!

    Von Sarah Kriz, vor mehr als einem Jahr
  4. Default

    Bitte noch einma kurz erklaeren warum log2^8 =3. Kann dem ersten Beispiel nicht folgen...steffen

    Von Steffen K., vor mehr als einem Jahr
  5. Default

    Tut mir leid, aber deine Korrektur ist falsch.
    Man rechnet das (8*8) nicht aus. Man rechnet ja auch nicht (x*y).

    Von Geiger Doris, vor fast 4 Jahren
  1. Default

    Bei 1:25min muss 12 und nicht 6 rauskommen.
    log2(64)+log2(64)=12

    Von Bayernaffe, vor mehr als 4 Jahren
Mehr Kommentare