Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Konvergenz von Zahlenfolgen

Hallo, willkommen! Es geht um Folgendes, um eine Eigenschaft von Zahlenfolgen, um die Konvergenz von Zahlenfolgen. Was ist das? Das werden wir jetzt erst mal abstrakt definieren. Also eine Zahlenfolge nennen wir dann konvergent, wir schreiben die Zahlenfolge hier mit diesem Symbol Ο (Omikron), das also steht für die ganze Zahlenfolge, eine Zahlenfolge heißt konvergent, falls folgendes Objekt existiert. Was das bedeutet, werde ich gleich erklären. Wenn wir den Limes bilden und uns also angucken, in welche Richtung sich die Elemente dieser Zahlenfolge entwickeln für immer größer werdende n, dafür steht hier der Limes, dann ist die Frage, ob diese Zahlenfolge gegen irgendeine Zahl strebt, also die wir jetzt hier mit a∞ (a Index ∞) notieren. Und wenn das der Fall ist, falls dieses hier tatsächlich eine Zahl ist, eine richtige Zahl, eine echte Zahl, wir werden und gleich Beispiele angucken, falls das also der Fall ist, dann nennen wir diese Folge konvergent. Und anderenfalls, was sagen wir andernfalls? Dann nennen wir sie einfach divergent. So, jetzt schauen wir uns Beispiele an. 1. Beispiel: Nehmen wir mal die Folge, die wie folgt aussieht (wie nehmen wir die): 1+1/n. Wir wollen uns mal angucken, was damit passiert. Wie sieht das aus? a1 ist dann, für n=1, das ist =2. a2=1+1/2, das ist =3/2. Wie ist das mit 3? Für die 3 haben wir hier 1/3, 1+1/3. Dann geht das immer so weiter. Also 1+1/3, schreiben wir das mal so hin, und so weiter. Die Frage ist jetzt, ob das gegen irgendeine Zahl läuft oder ob das nicht der Fall ist. Also was passiert für n->∞, für immer größer werdende n? Gibt es dieses Objekt? Und das schauen wir uns an, das kann man gut sehen, wenn wir den Limes bilden. Was ist hier zu erwarten? Wenn wir die 1 hier hinten durch eine immer größer werdende Zahl teilen, was passiert dann? Diese Zahl, 1 / immer größer, naja, wenn wir die 1 in immer mehr Teile teilen, dann wird das Ergebnis immer kleiner. Also diese Zahl, die geht gegen 0. Die Zahl hier vorne bleibt 1 und das Ergebnis ist =1. Also das ist unser Grenzwert a∞, er existiert. Wir sehen also, der Grenzwert existiert, das ist die 1. Und damit geht diese Zahlenfolge gegen 1 und sie ist konvergent. Wollen wir uns diese Zahlenfolge mal auf einem Zahlenstrahl anschauen. Wo fängt sie an? Bei 2 und sie wird immer kleiner. Und wenn hier die 0 ist, da die 1, dann sind wir also erst bei der 2, dann bei 3/2, und dann gehen wir immer näher hier an die 1 heran und nähern uns von oben der 1. Und das schreibt man dann so: an nähert sich von oben der 1. Wie sieht das aus mit dem nächsten Beispiel? Definieren wir uns mal die Folge bn, ganz einfach: 3×n+1. Ja, was ist das für eine Folge? So was haben wir schon mal gesehen oder sollte man vielleicht mal gesehen haben. Das ist eine sogenannte arithmetische Reihe. Ich schreibe arithmetische Zahlenfolge, nicht Reihe. Dir Frage ist jetzt, ist diese Zahlenfolge konvergent? Gucken wir uns mal das b∞-Element an, wenn wir den Limes bilden von (3n+1). Was passiert? Die 1 bleibt so, wie sie ist; 3×n, für immer größer werdende n wird das immer größer, und das ist ja wohl im Grenzwert ∞. Das ist aber keine Zahl, dieses Symbol wird jetzt nicht als Zahl verstanden. Und deswegen existiert also dieses b∞ nicht, gibt es gar nicht, ist nämlich ∞. Das akzeptieren wir nicht als Zahl, und deswegen sagen wir existiert nicht. Damit ist die Folge divergent. Und man sagt in diesem Falle, dass die Zahlenfolge gegen ∞ divergiert, also sie divergiert unendlich. Ja, schauen wir uns mal ein weiteres Beispiel an. Diese ganz einfache Zahlenfolge, wie sieht die aus, wenn wir die mal aufschreiben? (-1)n, fangen wir an, also n läuft von 1 bis immer weiter, bis unendlich. Was passiert? Wir fangen an mit der (-1, 1, -1, 1), da passiert nicht viel, es wechselt immer das Vorzeichen. Die Frage ist jetzt, existiert dieses Grenzelement? Wenn wir hier also diese Zahlenfolge weiter verfolgen, was passiert? Läuft das gegen irgendeine Zahl? Die Antwort ist nein. Diese Zahlenfolge ist nicht konvergent, weil wir nicht entscheiden können, was passiert im Unendlichen. Also wir wissen nur, dass die Zahlenfolge immer wieder springt, zwischen 1 und -1.  Auf dem Zahlenstrahl sieht das dann so aus, dass die immer hin und her springt, die Zahlenfolge, zwischen 1 und -1. Was wir also feststellen, ist, dass diese Folge divergent ist. Im Unterschied zu der Folge aus Beispiel 2 divergiert diese aber endlich, weil sie also immer springt, zwischen 1 und -1. Und das sind konkrete Zahlen und wir sind nicht im Unendlichen, sondern wir bleiben hier. Deswegen sagt man, dass die Zahlenfolge endlich divergiert. Wollen wir uns jetzt mal die Frage stellen, wie das mit den beiden wichtigen Klassen von Zahlenfolgen aussieht. Wie ist es mit arithmetischen Folgen, unter welchen Umständen konvergieren die? Zu welchen Umständen können arithmetische Folgen konvergieren? Und dazu gucken wir uns mal an, wie die Bildungsformel im Allgemeinen aussieht, a0+n×d. Also d ist irgendwie eine reelle Zahl und a0 auch. Da sieht das Bildungsgesetz also allgemein so aus: a0 ist das Startelement, wenn wir uns die Folge angucken. Also die läuft dann so. Der Index beginnt hier mal bei 0. Man kann die auch anders schreiben, wenn der Index bei 1 beginnt. Aber wir fangen hier an mit der 0. Das n läuft also von 0 immer weiter. Das ist der Index. Die Frage ist jetzt, unter welchen Umständen kann eine arithmetische Folge konvergieren? Wird der Grenzwert hier überhaupt existieren? Das ist recht einfach zu beantworten, wenn wir uns nur mal überlegen, was hier passiert. Also für n->∞ bleibt dieser Term hier vorne einfach so, wie er ist konstant, das interessiert ihn überhaupt nicht. Aber der, der 2. Summand, was wird der? Der wird immer größer, immer größer, oder wenn d hier negativ ist, immer kleiner, aber betraglich immer größer, das n wächst ja. Und jetzt ist die Frage, was bedeutet das? Das bedeutet, das dieses Element gar nicht existiert. Es sei denn, also wir müssen hier eine Fallunterscheidung machen und da ziehen wir eine Klammer auf, eine geschweifte, und schreiben jetzt hier die beiden Fälle untereinander. Also für den Fall, dass d eine positive Zahl ist, d > 0 ist, geht es gegen ∞. Für den Fall, dass d genau 0 ist, was passiert da? Ach, da existiert es tatsächlich. Wenn d nämlich 0 ist, dann ist das eine ganz triviale, eine ganz einfache Zahlenfolge, also die einfach nur immer a0 ist; a0, a0, a0, immer die gleiche Zahl, also eine konstante Zahlenfolge. Also in diesem Fall hätten wir eine konstante Zahlenfolge. Und bei konstanten Zahlenfolgen ist die Frage nach der Konvergenz immer schon beantwortet natürlich. Da sie immer so bleibt, wird sich das auch im Unendlichen nicht ändern. Und dieses Element wäre dann also existent. Falls also d jetzt aber, das ist der letzte Fall, negativ ist, geht das Ganze gegen -∞. Egal, was a0 ist, hier wird also eine negative Zahl mit einer immer größer werdenden Zahl multipliziert. Das geht gegen -∞. Das sind die 3 Fälle. Also die Antwort auf die Frage, ob arithmetische Folgen konvergent sein können, ist also wie folgt. Die lautet: Nur konstante arithmetische Folgen können konvergieren. Ja, gucken wir uns dazu vielleicht ein Beispiel noch mal an. Ein Beispiel dazu: die Folge (3, 3, 3, ...). Naja, die ist natürlich konvergent. Wenn wir ins Unendliche laufen, bleibt es so, wie es ist, immer 3. Wie ist das mit der Folge (3, 5, 7, 9)? Das ist auch eine arithmetische. Für die geht das natürlich gegen ∞. Das ist der Fall hier oben, das d. Was ist hier das d? Was wird dazu addiert? Immer eine 2. Und a0 wäre also dann die 3, eine ganz simple Zahlenfolge. Und hier, was ist hier das d? Hier ist das d=0 und a0 ist auch =3. Das wären 2 Beispiele. Also noch mal: Arithmetische Folgen können nur dann wirklich konvergieren, wenn sie trivial sind, wenn sie ganz einfache Konstanten sind. Jetzt stellen wir uns diese Frage mal bei geometrischen Folgen. Unter welchen Umständen sind geometrische Folgen konvergent? Geometrische Folgen haben alle diese Form, irgendeine reelle Zahl q. Jetzt stehen hier die ganzen Potenzen von q. Unter welchen Umständen?  Also a0 ist eine Zahl, und dann läuft der Index also hier in diesem Falle von 0, 1, 2 und so weiter. Und die Frage ist also, unter welchen Umständen kann diese geometrische Folge überhaupt konvergieren? Und dazu gucken wir uns den Grenzwert mal an und überlegen uns, was da zu erwarten ist. Ja, was ist da zu erwarten? Welche Fälle müssen wir unterscheiden? Also wie ist das, wenn q eine Zahl ist, die > 1 ist? q > 1 ist dann: Es wird hier eine Zahl, die > 1 ist, potenziert, mit sich selbst multipliziert, immer mehr, und dann wird das Resultat immer größer. Das geht also für den Fall, dass q größer ist. Es geht eigentlich nur um den Betrag, um die Frage, was der Betrag macht. Wir betrachte bei diesem Fall, dass q> 1 ist, dann wächst das gegen +∞, also es divergiert. In diesem Falle divergiert die Zahlenfolge. Wie ist das, wenn q genau 0 ist oder genau 1, wenn q genau 1 ist? Dann nehmen wir erst mal den Fall q=1. Was ist dann zu erwarten? Dann bleibt das Ganze, so wie es ist. 1n, das bleibt immer 1. Und damit konvergiert die Folge. Für den Fall, dass q < 1 oder > 0 ist, was passiert für diesen Fall? Oder lassen wir das q auch mal 0 sein, entweder 0 oder < 1, dazwischen irgendwo. Was passiert dann? Wenn wir eine Zahl, die < 1 ist, aber > 0,  hoch n nehmen, dann wird die Potenz immer, immer kleiner. Und dann geht das Ganze, egal was a0 ist, gegen 0. Und wenn q=0 ist, dann können wir die ganzen Potenzen nehmen, dann bleibt das immer noch 0. Insofern ist dieser Fall hier mit drin. In diesem Falle, was wäre die Antwort auf die Frage, ob sie konvergiert? Ja, sie konvergiert, und zwar gegen 0. Das sind jetzt die Fälle für ein positives q oder 0. Und falls q negativ ist, dann gibt es ein Problem. Wenn q negativ ist, dann spielt die Frage, was der Betrag macht, eine große Rolle. Also falls q negativ ist, was passiert dann? Dann können wir q so schreiben als -|q|. Wenn q negativ ist, dann können wir das so schreiben, |q|×-1. Dann ist qn=(-1)n|q|^n. Entscheidend ist also für hier für die Frage, ob diese Folge konvergiert, nur das Verhalten von q. Und wenn das q betraglich > 1 ist, was passiert dann mit der Folge? Dann wächst dieser Faktor qn nicht, sondern er tanzt hin und her. Betraglich wächst er immer weiter, aber er wechselt immer sein Vorzeichen. Das Ganze divergiert dann, und das Vorzeichen wechselt auch noch. Und für den Fall, dass q=(-1) ist, was passiert dann? Dann haben wir also immer diesen Wechsel hier. Und von dem wissen wir auch, dass es divergiert. Aber für den Fall, dass |q| < 1 ist, für diesen Fall sieht das ja so aus. Also < 1, aber dennoch in diesem Fall < 0, aber negativ, dann geht das hier für n->∞ gegen 0. Das Vorzeichen wechselt zwar immer, aber es geht gegen 0, und deswegen ist es konvergent. Also wir sehen, es hängt von vielen Dingen ab, insbesondere von diesem Faktor und nur von diesem Faktor, vom Verhalten dieses Faktors q. Gucken wir uns noch ein paar Beispielaufgaben an. Häufig wird ja in der Schule dann immer gefragt, ob eine irgendwie geartete Folge divergiert oder konvergiert. Was macht diese Folge, die wir so definieren, wie verhält die sich, wenn das n immer größer wird. Gut, man kann natürlich mit ein bisschen Vorwissen das jetzt schon sehen. Aber wir machen es mal so, wie das üblicherweise vermittelt wird. Wir kammern hier unten mal n2 aus, dann sieht man es. Jetzt ist hier unten im Zähler n2 ausgeklammert. Jetzt kürzt sich ein n weg. So, jetzt können wir sehen, was passiert. Dieser Faktor hier unten, für n->∞, der geht gegen 1, und der geht gegen ∞. 1 zwischen endlich, das ist aber 0. Das heißt, das geht gegen 0. Diese Folge würde also gegen 0 gehen. So, nehmen wir eine weitere Folge. Schauen wir uns die mal an, was macht die? Also noch mal zur Oberen, die konvergiert also gegen 0. Insofern haben wir hier Konvergenz vorliegen. Was ist mit dieser Folge für n->∞? Also wir klammern hier unten mal das n2 aus und kürzen es gegen dieses n2 oben weg. Was passiert, wenn wir n2 ausklammern? Es bleibt 1/n übrig hier. Wenn wir das reinmultiplizieren, können wir das gut sehen. Jetzt kürzt sich dieses n2 aber weg. Jetzt haben wir die Folge nur umgeschrieben. Und was passiert jetzt für n->∞? Das Ganze geht gegen 12. Das geht gegen 0, und dann bleibt übrig 12/3. Und was ist 12/3? Das ist 4. Das heißt, diese Folge geht gegen die 4. Und von welcher Richtung, wenn wir uns das auf dem Zahlenstrahl angucken, von welcher Richtung geht die gegen die 4? Diese Zahl wird immer kleiner, geht also gegen 0. Damit wird dieser Term hier unten, dieser Nenner immer kleiner, er geht gegen 3, von oben gegen die 3. Also wenn der immer kleiner wird, dann wird der Quotient immer größer, er steigt auf die 4. Also das Ganze geht von unten gegen die 4. Dieser Term hier unten im Nenner, der Nennerterm, der wird immer, immer kleiner. Er geht langsam gegen die 3. Damit haben wir für den ganzen Quotienten dann hier den Fall, dass der Nenner immer kleiner wird. Und damit wird der Quotient immer größer und geht langsam gegen die 4. Das sind so Standardaufgaben in der Schule. Meistens hat man also hier oben so was wie Polynome. Und dann fragt man sich: Welches Polynom ist stärker, welches wächst stärker? Was passiert hier? Zu erwarten ist, weil das Polynom hier unten in n viel, viel stärker wächst, dass das Ganze gegen 0 geht. Das kann man sehen, wenn man hier unten das n4 ausklammert. Das müssen wir natürlich durch n4 teilen, dann +12/n4. So, was passiert hiermit? Jetzt können wir das da oben, diesen Faktor da reinmultiplizieren. Und dann bleibt übrig 2n+1/n2+1/n4, und unten bleibt alles so, wie es ist. Was passiert damit? Der Nenner, was macht der Nenner? Das geht gegen 0, das auch, der Nenner geht also gegen 3. Und was macht der Zähler? 0, 0, 0, das Ganze geht also gegen 0, konvergiert also auch. Ja, das soll es gewesen sein zu Zahlenfolgen und ihrer Konvergenz. Ich bedanke mich fürs Zuhören.

Informationen zum Video
7 Kommentare
  1. Default

    Hallo. Das letzte Beispiel hab ich noch nicht ganz verstanden. Ist es egal dass im Nenner noch ne 3 steht weil der Zähler gegen 0 geht?

    Von Bilbo, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    Danke für den Kommentar bei 20:13 min;
    natürlich habe ich da einen Fehler gemacht. Es muss unten im Nenner in der
    Klammer statt 1/n der Bruch 1/n² stehen. Das Ergebnis bleibt aber davon unbeeinflusst richtig. Nochmal Glück gehabt.

    Von Lutz Klaczynski, vor etwa 6 Jahren
  3. Default

    super gemacht! alles verstanden! danke!!

    Von Benni88, vor mehr als 6 Jahren
  4. Default

    Merci, habs begriffen!

    Von Nokomprendonada, vor fast 7 Jahren
  5. Default

    Super Video! Vielen Dank!

    Von Ton E Es Nightmare, vor etwa 7 Jahren
  1. Default

    Ja, im Berliner Studio der Firma sofatutor hat man ein Stativ aufgebaut, es sind Eisenstangen mit festschraubbaren Verbindungen, die man wohl auch in Baumärkten kaufen kann.

    Von Lutz Klaczynski, vor etwa 7 Jahren
  2. Default

    Wie nimmst du das von oben auf? Braucht man dafür nicht ein Spezielles Stativ?

    Von Deleted User 4229, vor etwa 7 Jahren
Mehr Kommentare