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Transkript Kettenregel – Erklärung

Hallo. Wir machen die Kettenregel. Für die Kettenregel brauchst du eine Funktion f von x. Und zwar nicht irgendeine Funktion, sondern eine verkettete Funktion, die zum Beispiel so bezeichnet werden kann: u von v von x. Hier zeige ich, wie die Kettenregel geht. Ich zeige nicht, wie man sie herleitet und wie man sie beweist. Und auch anschaulich werde ich nichts zeigen, sondern nur, wie man das macht. Die Variablen hier sind übrigens austauschbar. Vielleicht hast du in der Schule andere Variablen gehabt hier für die Funktionen. Das ist immer unterschiedlich. Das sollte dich nicht irritieren. Wenn wir diese verkettete Funktion ableiten möchten, dann geht das folgendermaßen: f strich von x ist die Ableitung der äußeren Funktion, also u strich von v von x. Man kann natürlich noch hinschreiben × die Ableitung der inneren Funktion v strich von x. Wenn dir das nicht geläufig sein sollte, verkettete Funktionen, äußere und innere Funktionen, kannst du bei den Filmen zu verketteten Funktionen gucken, da wird das eindeutig und ausführlich erklärt. Dann, damit das hier nicht so substanzlos herumsteht, möchte ich natürlich auch ein Beispiel zeigen. Wir haben die Funktion f von x =\sqrt x²-1. Hier ergibt sich als erstes die Frage, was ist denn innen, was ist außen? Ich sage es noch mal kurz. Wenn du jetzt den Term hier an einer Stelle ausrechnen möchtest, dann setzt du eine Zahl für x ein, rechnest zunächst x², dann dieses Ergebnis -1 und aus diesem Ergebnis ziehst du dann die Wurzel. Das heißt also, von hier bis zu einem gewissen Punkt ist die innere Funktion und alles, was danach kommt, ist die äußere Funktion. Es ist nicht so praktisch, sich das an dem Funktionsbild vorzustellen, was ist da innen und was ist außen. Es geht der Rechnung nach. Ja, dann ist also die innere Funktion x²-1. Das soll unsere innere Funktion sein. Und die äußere Funktion ist die Wurzel aus dieser Funktion. Jetzt können wir uns als Erstes darum kümmern, da wir die innere Funktion schon haben, also x²-1, was ist die Ableitung von x²-1? Das ist 2x. Denn x² abgeleitet ist 2x, -1 abgeleitet ist 0, also +0; schreibe ich nicht hin. u von v, also die äußere Funktion ist einfach \sqrt v, bzw. v^½. Oft steht hier auch u von v von x. Also gemeint ist auf jeden Fall, dass hier die Funktionswerte u von Funktionswerten von v gebildet werden. Man kann auch die gesamte Funktion v da reinschreiben, aber damit da nicht so viele Klammern auftauchen und so, schreibe ich hier einfach nur v. Und u von v ist dann die äußere Funktion. u strich von v können wir dann bekommen, nach der Potenzregel, und zwar müssen wir einfach ½×v^-½ rechnen. Das kann man auch anders schreiben, nämlich als 1/2×\sqrt v. \sqrt v ist gar nicht zu erkennen hier, schöner wird es nicht. ^- bedeutet ja 1/, ^½ bedeutet Wurzel. Da steht es. Ich sage das immer wieder dabei, weil ich die Erfahrung gemacht habe, dass Schüler dazu neigen, solche Regeln zu vergessen, warum auch immer. Jetzt können wir das ganze Zeug hier zusammensetzen. Wenn wir nämlich die Ableitung f strich von x machen wollen. Wir haben zunächst die Ableitung der äußeren Funktion, also ½×v. Hier schreibt man jetzt nicht das v hin, sondern den Funktionsterm von v, also v von x schreibt man hier hin. Das v also ^-½, da steht es, × innere Ableitung, also ×2x und die sind hier. Und dann kann man sich noch überlegen, kann man das irgendwie einfacher schreiben? Kann man das anders schreiben? Wir haben hier ½×2, das kann man kürzen. Und Klammer ^-½, wie schon hier gesehen, kann man ja als 1/\sqrt aus Klammer schreiben. Und dann bleibt hier noch das x im Zähler stehen, und damit haben wir dann f strich von x gleich x/\sqrt(x²-1). Ja, es folgen dann weitere Beispiele dazu. Und natürlich auch Beweis und Anschauung und so weiter. Aber hier ist erst mal, wie du die Regel anwendest gezeigt worden. Und damit ist hier auch Schluss. Viel Spaß damit. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. Dsc05908

    Wieso kann man nicht direkt die u'(x)= 1/(2*wurzel (x)) ableitung nehmen? Weil eigentlich kann man doch da direkt alles einsetzen oder?

    Von Sofatutor 28, vor etwa 2 Jahren