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Transkript Kettenregel – Beispiel (2)

Hallo, hier kommt ein Beispiel zur Kettenregel, zur Ableitung einer Funktion mit Kettenregel. Die Kettenregel habe ich hier noch mal hingeschrieben, wobei ich hier am Ende die ganzen ""x"" weggelassen habe. Das macht man auch. Also die Ableitung von f ist einfach u'(v)×v'. Hier steht das x noch, da steht es nicht mehr. Ich weiß nicht, ob das gut ist. Aber die Bezeichnungen sind da verschieden und deshalb zeige ich hier einfach mal ein paar Möglichkeiten, wie man das auch aufschreiben kann. Dann haben wir eine Funktion gegeben: f(x) = (5x + 3)5. Dieser Term hier ist ein ganz rationaler Funktionstherm. Man könnte das jetzt ausmultiplizieren und dann einfach, wie gehabt, mit Potenzregel, Summenregel und Faktorregel ableiten. Wäre hier aber extrem nervig, weil wir hier den Exponenten 5 haben. Das heißt, das wird so ein Riesending. Und deshalb kann man hier viel praktischer mit der Kettenregel ableiten. Da kann die Kettenregel also mal zeigen, was sie kann. Wir müssen uns für die Kettenregel eben überlegen, wie kann man diese Funktion als verkettete Funktion auffassen kann. Wir brauchen eine innere und eine äußere Funktion. Bei der inneren Funktion bietet sich an: 5x + 3 Und bei der äußeren Funktion wird sich dann anbieten, hier das Ganze also ^5. Ich schreibe aber der Ordnung halber, meistens schreibt man das so hin, erst mal die Ableitung von v hin. Nämlich: v'(x) = 5. 5x abgeleitet ist 5. 3 abgeleitet ist 0. Und u(v), also die äußere Funktion, ist dann einfach v5: u(v) = v5. Auch das kann man schnell ableiten. Lass dich nicht davon irritieren davon dass jetzt hier ein v steht. Du kannst das, egal welche Variable da steht, ganz einfach ableiten, wie du das gewohnt bist. Und zwar hier mit Potenzregel: u'(v) = 5 × v4 Gut und dann, nachdem wir das jetzt wissen, können wir die Ableitung hinschreiben. Nämlich: f'(x) = 5 (5x+ 3)4 × 5 f'(x) ist gleich u'(v) - das ist diese Sache hier. v schreibe ich jetzt aber nicht hin, sondern das, was v ist, nämlich: (5x + 3). In Klammern selbstverständlich. Und ich muss v noch mit 4 potenzieren. Und die Ableitung von v' ist 5. Das kommt noch dahinter. Das kann man noch zusammen fassen zu: 5 × 5 = 25, also: = 25 (5x + 3)4 Und wenn du das öfter gemacht hast, sollte das etwas schneller gehen, als das, was ich hier jetzt vorgerechnet habe. Das ist so eine typische Funktion, da darf man das direkt sehen. Also: Du nimmst dir diesen Funktionsterm einfach, den kuckst du dir an. Dann siehst du gleich, ich habe etwas in der Klammer, das wird potenziert. Das, was in der Klammer ist, ist die innere Funktion. Da es sich hier um eine lineare Funktion handelt, kannst du gleich im Kopf ableiten und weißt, die Ableitung ist 5. Das andere, die äußere Funktion, also in Klammern hoch 5 wird nach Potenzregel abgeleitet. Das heißt, du hast hier Ableitung der inneren mal diesen Exponenten, ist dann gleich 25. 25 mal v, also die innere Funktion, das ist (5x + 3). Und nach Potenzregel etwas hoch 5 abgeleitet, ist ja 5 mal das Ding was wir ableiten hoch 4. Und dann kommt hier also hoch 4 ans Ende. Und das darf dann auch sehr schnell gehen. Dann kannst du dir das auch sparen, die ganzen Funktionen hier hinzuschreiben. Aber das solltest du erst manchen, wenn du wirklich ganz sicher bist. Sonst ist das hier doch ziemlich fehleranfällig. Viel Spaß damit. Tschüss! .

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