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Transkript Kettenregel – Beispiel (1)

Hallo! Hier kommt ein Beispiel zur Anwendung der Kettenregel. Kettenregel steht hier oben, das ist die Funktion, auf die die Kettenregel angewendet werden soll, f(x)=(2-x)2. Erstens kannst du diesen Term auch ausmultiplizieren und dann ableiten, zeige ich später, nur zur Überprüfung, damit man weiß, dass man eine Kettenregel richtig angewendet hat, und zum anderen ist die Funktion so einfach, dass sie oft falsch abgeleitet wird. Deshalb möchte ich hier jetzt mal in aller Ruhe zeigen, wie das richtig geht. Wir müssen uns erst überlegen, was ist die innere Funktion, was ist die äußere? Da bietet sich an, das hier in der Klammer als innen zu sehen, und das, was außerhalb der Klammer ist, also dieses Quadrat, das ist dann außen. Meistens ist das geometrisch nicht so eindeutig, deshalb solltest du normalerweise so vorgehen, dass du dir die Rechnung vorstellst, also du stellst dir vor, in welcher Reihenfolge rechne ich etwas, wenn ich diesen Term an einer bestimmten Stelle ausrechne, das heißt, wenn ich für das x eine Zahl einsetze, was muss ich wann rechnen, und dann kannst du sehen, dass bis zu einem bestimmten Punkt der Rechnung innen ist und ab einem bestimmten Punkt der Rechnung ist außen. Habe ich gezeigt in den Filmen zu den verketteten Funktionen. Hier können wir jetzt also sagen, die innere Funktion V(x)=2-x. Und die Schwierigkeit liegt eben bei dieser Funktion darin, dass man einfach meint, ja, x ist ja in der 1. Potenz, da bleibt das so, kann ich weglassen, kommt einfach die 2 davor, Potenzregel, fertig. Und da hat man eben den Fehler gemacht, dass man sich nicht genau überlegt hat, was ist mein V(x) und was ist die Ableitung V'(x). Dann sieht man, die Ableitung ist -1. Und diese -1 fällt nicht weg, die muss ich hier hinterher multiplizieren, das ist wichtig. Wenn man sich das in Ruhe überlegt und langsam vorgeht, dann fällt einem das auch auf, dass man hier tatsächlich noch eine Ableitung hat, mit der man multiplizieren muss. Als Nächstes haben wir dann U(V), ja, ich schreibe jetzt nicht V(x) noch mal dahin, damit das hier ein bisschen übersichtlicher wird, U(V) ist einfach V2, ja, die Funktion V wird quadriert hier, kein Problem weiter, dann ist die Ableitung U'(V)=2×V. Und wenn wir jetzt die Ableitung als Ganzes hier hinschreiben wollen, von f(x), dann haben wir hier f'(x)= einmal äußere Ableitung, das ist also 2×V, und statt V schreibe ich jetzt den Term V(x) hin, und zwar, in Klammern natürlich, 2-x. Und dann brauche ich noch die Ableitung V', die Ableitung von V, und das ist -1, also muss ich hier noch mit -1 multiplizieren. Ja, du siehst, ich muss mich auch konzentrieren, weil ich dann immer schon denke, ja, bin ich schon fertig, alles klar, nein, man muss das hier wirklich langsam machen, sonst passieren einem diese Flüchtigkeitsfehler und das wollen wir ja vermeiden. Also, was machen wir jetzt? Wir können die Klammer ausmultiplizieren, 2×2=4 und 2×-x=-2x und dann müssen wir das Ganze noch mit -1 multiplizieren und deshalb kommt hier ein Minuszeichen vor die 4 und da ein Pluszeichen hin. So, also -4+2x, was man normalerweise schreibt als 2x-4, ist hier die Ableitung. Und das hätte man auch haben können, indem man erst die Funktion f(x) ausmultipliziert. Wir können ja hier einfach die 2. binomische Formel anwenden und erhalten dann, ja, a2, das ist dann 4, -2ab, -2×2×x ist das in dem Fall, +x2, +b2. Und die Ableitung davon ist dann einfach, ja, 4 abgeleitet ist 0, -4×x, die Ableitung ist -4 und die Ableitung von x2 ist 2x - und du siehst, wir kommen auf das gleiche Ergebnis jeweils. Das also nur ein Beispiel, dass man auch anders ableiten kann, das heißt, man kann überprüfen, ob man richtig gerechnet hat, ob man die Kettenregel richtig verwendet hat. Ja, und damit ist alles gesagt, viel Spaß damit. Tschüss!

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