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Kettenregel 03:00 min

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Transkript Kettenregel

Hallo. In diesem Video möchte ich eine der grundlegenden Regeln der Differenzialrechnung, die Kettenregel, vorstellen. Wie der Name schon sagt, gibt die Kettenregel vor, wie man verkettete Funktionen ableitet. Als Beispiel betrachten wir folgende Funktion: f(x)=(3x²-5)4. Diese Funktion ist eine Verkettung von 2 anderen Funktionen, u(x)=x4 und v(x)=3x²-5. Somit lässt sich die Funktion f(x) wie folgt schreiben: f(x)=u(v(x)). Die Funktion u wird in diesem Zusammenhang als äußere Funktion bezeichnet und die Funktion v als innere Funktion. In diesem Beispiel könnte man die Anwendung der Kettenregel vermeiden, indem man ausmultipliziert und herkömmlich ableitet. Mit der Kettenregel geht es aber einfacher, besonders wenn die Funktionen komplizierter werden. Als 2. Beispiel betrachten wir die Funktion sin(5x). Hier kann man nicht ausmultiplizieren. Um für solche Funktionen die Ableitung bestimmen zu können, brauchen wir auf jeden Fall die Kettenregel. Nun kommen wir zur Kettenregel. Sie besagt, dass sich die Ableitung der Funktion f(x) wie folgt berechnen lässt: f'(x)=u'(v(x))×v'(x). Die Ableitung der äußeren Funktion heißt die äußere Ableitung und die Ableitung der inneren Funktion heißt die innere Ableitung. Als Beispiel betrachten wir die folgende, uns schon bekannte Funktion (3x²-5)4. Hier schreibe ich noch mal die Kettenregel auf, f'(x)=u'(v(x))×v'(x). Die äußere Funktion lässt sich in diesem Beispiel als die (innere Funktion)4 schreiben, das heißt die äußere Ableitung = 4×(die innere Funktion)3. Die innere Funktion ist 3x²-5, das heißt, die innere Ableitung ist 6x. Jetzt setzen wir einfach in die Formel ein, also äußere×innere Ableitung, und bekommen auf diese Weise 24x×(3x²-5)3, das ist die gesuchte Ableitung. Als 2. Beispiel betrachten wir die Funktion sin(5x). Die äußere Funktion ist hier sin(v(x)), das heißt, die äußere Ableitung ist cos(v(x)) und die innere Funktion ist 5x, das heißt, die innere Ableitung ist 5. Nun setzen wir die innere und die äußere Ableitung in die Formel ein und bekommen 5×cos(5x), das ist die gesuchte Ableitung. Das war es zur Kettenregel, vielen Dank für Ihr Interesse und weiterhin viel Spaß mit Mathematik.  

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8 Kommentare
  1. Default

    hallo! ich habe eine Frage zur Testaufgabe- muss das nicht 2x^2 heißen? ln(x)=u -> 1/x=u' x^2=v -> 2x= v' und die Formel lautet ja : f'(x)= u'(v(x))* v'(x) also f'(x)= (1/x)*(x^2)*(2x) dann kürzt man (1/x) und (2x) und dann hat man doch nur 2(x^2) ....

    Von Buiduytan000, vor mehr als 3 Jahren
  2. Default

    Die Videos sind toll :)
    Danke
    (Wen kratzt schon sein Akzent?!)

    Von Olivia Serwata, vor mehr als 4 Jahren
  3. Default

    1/x= 1 mal x^-1

    z.B. 4/x^3 wäre dann 4 mal x^-3

    Von Matheanni, vor mehr als 5 Jahren
  4. Default

    Also ich mag seinen akzent! :D weiter so!

    Von Seray, vor fast 6 Jahren
  5. Default

    anderen... ^^

    Von Mogallem, vor etwa 6 Jahren
  1. Default

    omg.. kann er ja nichts dafür?! sei froh, dass er tutorials macht und der gesellschaft weiter hilft. von anderes kann man sowas nicht behaupten...

    Von Mogallem, vor etwa 6 Jahren
  2. Default

    Akzent weglassen, dann kann man das Video gucken...

    Von Retrogamer, vor mehr als 6 Jahren
  3. Default

    wie lautet die Ableitung von 1/x ?

    Von Sina16, vor fast 7 Jahren
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