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Transkript Geometrische Reihen – Umwandlung periodischer Dezimalbrüche in gemeinene Brüche

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video geometrische Reihen, Teil 2. Das Thema des Videos lautet Umwandlung eines periodischen Dezimalbruchs in einen gemeinen Bruch. Wir haben den periodischen Dezimalbruch 0,137 Periode. Dieser soll in einen gemeinen Bruch umgewandelt werden. Man verfährt folgendermaßen: der periodische Dezimalbruch soll als unendliche Summe dargestellt werden. Dafür schreibt man ganz einfach die Zahlenfolge als Stellen nach dem Komma auf, also 0,137 und multipliziert sie mit einer negativen Zehnerpotenz. In diesem Fall muss es sein 10^-3, also 1/1000, eben deswegen, weil wir hier 3 Stellen haben; die 1, die 3 und die 7. Ich schreibe erst mal allgemein auf, so wie das darzustellen ist, und zu den Potenzen kommen wir später. Wir schreiben einfach hintereinander 0,137×(1/1000) und so weiter und so weiter. Diese Summanden sind jetzt erst mal gleich. Potenzen schreib ich dann anschließend auf. So, 6 Summanden, damit soll es reichen, anschließend die 3 Pünktchen, die zeigen sollen, dass es weitergeht. Der 1. Summand lautet 0,137×(1/1000) und der Exponent muss sein, die kleinste natürliche Zahl, also 0. Beim 2. Summanden ist es die 1, beim 3. Summanden die 2 und so weiter. Wir schreiben dann 3, 4 und 5 als Exponenten. Damit haben wir eine schöne, unendliche geometrische Reihe. Ich möchte sie jetzt mithilfe des Summenzeichens formulieren. Es läuft also die Summe von k=0 bis unendlich. So, und dann schreiben wir 0,137, das steht in jedem Summanden drin, und jetzt kommt 1/1000 in Klammern hoch k, und fertig ist die geometrische Reihe. Allgemein formuliert sieht das so aus: Summe für k=0 bis unendlich von a×qk=, und dafür gibt es eine Formel, a/1-q. Wir setzen jetzt ein die Werte für a und q für unsere konkrete geometrische Reihe. a=0,137 und q=1/1000, also erhalten wir: die Summe ist gleich 0,137/1-1/1000. Wir rechnen den Wert des Doppelbruchs aus: 0,137 ist im gemeinen Bruch formuliert 137/1000 und für 1-1/1000 können wir schreiben 1000/1000 - 1/1000 sind 999/1000. Die 137/1000 mit dem Kehrwert dieses Wertes multipliziert ergibt dann × 1000/999. Nun kürzen wir die 1000er gegeneinander und erhalten als Endergebnis 137/999. So, und die 137/999 sind tatsächlich die ursprünglich vorhanden gewesenen 0,137 Periode. Also, wer es nicht glaubt, der kann mal schriftlich 0,137 Periode ausrechnen, indem er einfach dividiert. Das wars schon zu diesem einfachen Thema. Das ist im Prinzip nicht schwer, auch nicht lange, aber man sollte es können. Ich bedanke mich für eure Aufmerksamkeit, wünsche euch alles Gute und viel Erfolg und vielleicht Sehen und Hören wir uns im nächsten Video wieder. Tschüss

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1 Kommentar
  1. Default

    Bitte auch Bezüge zur Praxis erläutern. Dann wird die Theorie farbiger ;).

    Von Suessmann, vor fast 3 Jahren