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Textversion des Videos

Transkript Geometrische Reihen – Achilles und die Schildkröte

Hallo, liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik! Herzlich willkommen zum Video "Geometrische Reihen, Teil 1". Ich bin durch eine Bitte von Ännchen im Forum zu dieser kleinen Reihe angeregt worden. Also viele Grüße auch an Ännchen und vielen Dank für diesen Beitrag. Das heutige Video heißt "Achilles und die Schildkröte". Man sagt, dass diese Fragestellung auf den Griechen Zenon zurückgeht. Ich möchte sie hier vom Prinzip einmal darstellen. Zenon ging davon aus, dass Achilles und die Schildkröte ein Wettrennen bestreiten. Achilles sollte an einem bestimmten Punkt starten und der Schildkröte einen Vorsprung gewähren. Dieser sollte genau 1 Stadion betragen. Nachdem Achilles dieses 1 Stadion in gleichbleibender Geschwindigkeit absolviert hatte, hatte natürlich auch Schildi ihren Beitrag geleistet. Sie war nicht ganz so schnell wie Achilles, hatte aber immerhin 1/10 seiner Geschwindigkeit. Demzufolge hatte Schildi in der gleichen Zeit 1/10 Stadion zurückgelegt. Achilles nicht faul, überwand nun auch dieses 1/10 Stadion. Aber in der gleichen Zeit hatte Schildi wieder ihren Weg fortgesetzt und 1/100 Stadion bewältigt. Und so ging es weiter und weiter. Achilles bewältigte auch dieses 1/100 Stadion, aber in der gleichen Zeit war Schildi auf ihren kleinen flinken Beinen wieder davongeeilt, und zwar zog sie nach vorne um 1/1000 Stadion. Wir wollen diese Aufgabe weder philosophisch deuten, noch physikalisch diskutieren. Wir wollen nur die Schlussfolgerung von Zenon notieren. Und die lautet: Achilles kann die Schildkröte nie erreichen. Na, prophylaktisch schreibe ich dahinter zumindest mal ein Fragezeichen in Klammern. Erstellen wir mal ein kleines Tabellchen. Eine Tabelle ist immer gut, wenn man nicht ganz durchsieht. Also, wir schreiben: Achilles, Schildkröte und Differenz der Wege. Wenn Achilles 1 Stadion zurückgelegt hat, hat es die Schildkröte auf 1/10 gebracht. Die Differenz beider Wege beträgt 9/10. Achilles, nicht faul, bewältigt 1/10 Stadion. In der gleichen Zeit bringt es Schildi auf 1/100 Stadion. Die Differenz ergibt sich zu 9/100 Stadien. Und weiter geht's! Achilles 1/100 Stadion, die Schildkröte 1/1000. Die Differenz aus beiden Wegen ergibt sich zu 9/1000. Und weiter geht's! 1/1000 Stadion für Achilles, 1/10000 Stadion für Schildi. Die Differenz ergibt sich zu 9/10000 Stadien. Das Spielchen kennen wir ja schon - wir addieren, addieren und addieren praktisch eine unbegrenzte Anzahl von Summanden und kommen nie zum Ende. Schreiben wir doch einmal den Gesamtweg des Achilles auf: S von (A)=1+1/10+1/100+1/1000+1/100000 + ... und so weiter und so weiter. Und wir erhalten dafür 1,1111... und so weiter und so weiter. Aber das kennen wir. Das ist ein unendlicher periodischer Dezimalbruch. Also 1,1... Periode. Den Weg der Schildkröte können wir dann auch problemlos darstellen. Denn S von (S)=1/10+1/100+1/1000+1/100000+... und so weiter und so weiter =0,1111... und so weiter und so weiter, also =0,1... Periode. Und das ist schon eine bemerkenswerte Tatsache. Denn das, was wir in der Grundschule häufig gehört haben, haben wir gar nicht so richtig verinnerlicht, nämlich dass unendlich viele Summanden eine endlich große Zahl geben, nämlich einen unendlichen periodischen Dezimalbruch. Und bei der Wegdifferenz von Achilles und der Schildkröte wird das noch abstruser. Wir erhalten nämlich dort 1,1...-0,1...=1. Und das ist eine schöne, glatte natürlich Zahl. Der von Zenon formulierte Satz wird von uns mit harter und flinker Hand durchgestrichen und fällt letztlich dem Schwamm zum Opfer. Wie ist der Weg des Achilles elegant darstellbar? Nun ja, wir schreiben S von (A) ist gleich, und ich verwende hier das Summenzeichen und hoffe, dass ihr das Summenzeichen schon behandelt habt. Es stellt praktisch eine Summe von vielen Zahlen dar. Wir haben hier einen Laufindex, k=0 und k läuft alle natürlichen Zahlen: 0, 1, 2, 3 und so weiter und so weiter. Und oben am Summenzeichen steht der Wert bis zu wem gelaufen werden soll, also in dem Fall unendlich. Die Summanden werden formuliert und sind, wenn man so will, eine Funktion von k. Also 1×(1/10)k. Und ihr seht, dass der Weg des Achilles hier elegant dargestellt wird. Warum habe ich hinter dem Summenzeichen diese seltsame Ballast-1, 1× und so weiter, mitgenommen? Nun ja, ihr werdet es gleich sehen. Die allgemeine Darstellungsformel einer geometrischen Reihe lautet, ich schreibe das mal in rot: ∑aller k von 0 bis ∞ für a×qk. a ist also in unserem Fall 1. Wenn man so will, ein Spezialfall. q=0 ist sinnlos. Wir werden später sehen, dass q verschiedene Werte annehmen kann. Wir wollen uns auf q im Bereich zwischen 0 und 1 ausschließlich beschränken. Wenn q < 1 ist und > 0, dann konvergiert die geometrische Reihe und man erhält als einfach Formel: a/1-q. Wem der Begriff der Konvergenz unbekannt ist, ganz kurz: Konvergiert heißt, wenn ich die unendlich vielen Glieder dieser Reihe addiere, erhalte ich eine bestimmte reelle Zahl - das bedeutet Konvergenz. Ich schreibe es doch einmal auf. Wir haben es hier mit einer geometrischen Reihe zu tun. So, und nun wird es interessant. Jetzt wollen wir S von (A) mit der kleinen Formel, die wir rechts stehen haben, ausrechnen. Das a in der rechten Darstellung ist bei uns im konkreten Fall die 1. Wir schreiben also im Zähler eine 1. Das q in der allgemeinen Darstellung ist bei uns 1/10, wir schreiben also im Nenner 1-1/10. Wir berechnen nun den Doppelbruch und erhalten: 1/ 10/10-1/10=9/10 und erhalten S von (A)=10/9. Und dieser Wert, 10/9, ist genau der Wert, den wir bei der Darstellung des Weges des Achilles in der oberen Zeile S von (A) berechnet hatten, nämlich 1,1... Periode. So, das reicht für eine Einführung. Zu anderen Beispielen zum Beweis der hier benutzten Formel und noch einer anderen Formel, die für die geometrische Reihe anwendbar ist, kommen wir in den nächsten Videos. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg - tschüss!

Informationen zum Video
4 Kommentare
  1. Default

    in der letzten Gegenüberstellung von Schildkröte und Achilles ist die Differenz 9/10000 und nicht 9/1000 :)

    Von Gruber I, vor fast 3 Jahren
  2. 001

    Hallo,

    Zoj: Das ist richtig, wenn q zwischen 0 und 1 liegt.

    Gdur: Bei 10/9 sind beide auf gleicher Höhe.

    Gruß

    André

    Von André Otto, vor fast 6 Jahren
  3. Default

    Kann man behaupten, dass Achilles die Schildkröte nach 10/9 überholt? Was bedeutet der Grenzwert in diesem konkreten Beispiel?

    Von Gdur, vor fast 6 Jahren
  4. Default

    Die Formel : a/(1-q) kann ich diese immer anwenden, um den Grenzwert zu bestimmen?

    Von Deleted User 17991, vor fast 6 Jahren