Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Geometrische Reihen – Rattenplage

Hallo liebe Freundinnen und Freunde der Mathematik. Herzlich willkommen zum Video „Geometrische Reihen Teil 3“. Dieses Video heißt Rattenplage. Stellen wir uns vor, dass eine weibliche Ratte monatlich 10 junge Ratten zur Welt bringt. Und gehen wir davon aus, dass die Verteilung zwischen männlichen und weiblichen Nachkommen Laplace verteilt ist. Dann sind unter der Nachkommenschaft monatlich genau 5 weibliche Ratten vorhanden. Wie viel Ratten stammen von einem Paar, nach einem Jahr ab, wenn die Ratten nach dem 1. Lebensmonat fortpflanzungsfähig sein sollen? Diese Aufgabe kann man verschiedenartig lösen, und sogar verschiedenartig verstehen. Ich werde sie lösen und verstehen, so wie es mir genehm ist. Was die Art und Weise der Lösung betrifft, so möchten wir hier zunächst nur weibliche Ratten betrachten. Und dann rechnen wir weiter. Was das Verständnis der Aufgabe betrifft, so gehe ich davon aus, dass das Paar Ratten schon zu Beginn des Jahres zeugungsfähig war. Und damit haben wir mit 13 Würfen zu rechnen. Und nicht mit 12, bitte beachten. Addieren wir also alle vorhandenen und dazugekommen Ratten. Wir gehen davon aus, dass kein einziges dieser Tierchen zu Schaden gekommen ist. Also 1×50+1×51+1×52+1×53+1×54 usw. Aber diesmal nicht bis unendlich, sondern nur bis 1×513. 13 ist nicht unendlich doch trotzdem ist diese ganze Pinselei lästig, deswegen verwende ich das Summenzeichen links unten. Wir haben hier die Summe von K=0 bis 13 für 1×5k. Das ist eine lupenreine geometrische Reihe. Ihre allgemeine Darstellungsform lautet Summe für k von 0-m aqk. Eigentlich nennt man diesen Ausdruck, da m nicht unendlich ist, nicht geometrische Reihe, sondern Folge der Partialsummen. Es ist ganz klar wenn wir m ständig vergrößern, so erhalten wir hier einen Wert, der über jede Grenze hinaus geht. D.h. also, diese geometrische Reihe, die vergiert. Wir erhalten keine reelle Zahl. Es ist aber so, dass man für endliches m, einen geschlossenen Ausdruck für die Summe angeben kann. Er lautet: a qn+1 -1÷q-1. Wir verwenden diese Formel für die Berechnung unserer konkreten Summe. Wir erhalten somit 1× 513+ -1÷5-1. Diesen Zahlenterm müssen wir nur noch auswerten, und fertig sind wir. Ich schaffe oben ein bisschen Platz. So, hier ist einer der seltenen Fälle, dass man in der Schule den Taschenrechner wirkliche einmal braucht. Wir erhalten hier im Zähler einen schönen mehrstelligen Ausdruck. Ich diktiere einfach mal die Ziffernfolge: 6103515625-1 und im Nenner steht dann 5-1. Damit ergibt sich Folgendes, wir erhalten: 1525878906 weibliche Ratten. Die gleiche Anzahl an männlichen Ratten haben wir zu erwarten. Also multiplizieren wir den Wert für weibliche Ratten mit 2. Am Ende ziehen wir noch 2 ab, das ist nämlich grade dieses Pärchen, von dem diese ganze Schönheit abstammt. Also erhalten wir als Endergebnis, von einem einzigen Pärchen Ratten werden im Laufe eines Jahres 3051757810 nachkommen gezeugt. Das sind etwa 3 Milliarden, also hat fast jeder 2. Mensch auf dieser Erde zum Jahresende eine Ratte. Na dann alles Gute. Um der Gefahr vorzubeugen, dass irgendein übermotivierter Biologielehrer gegen mich Sturm läuft. Ich möchte sagen, ich habe natürlich im Internet recherchiert, habe Mittelwerte genommen und habe natürlich Vereinfachungen vorgenommen. Wie die tatsächlichen Werte sind, das muss man von Fall zu Fall sich anschauen. Eins ist auf alle Fälle klar, es werden viele viele Ratten nachkommen gezeugt. Mathematisch bemerkenswert ist die Formel rechts unten, die von Bedeutung ist, wenn q zwischen 0 und 1 liegt, aber auch wenn q > 1 ist. Wir werden  diese Formel und auch die Formel, für den Fall das q zwischen 0 und 1 liegt, in dem Video Teil 4 beweisen. Ich wünsche euch alles Gute, viel Erfolg und dann tschüss!  

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. 001

    Dankeschön. So war es auch gedacht.
    Alles Gute

    Von André Otto, vor etwa 4 Jahren
  2. Default

    Super Video!
    Durch das Beispiel ist es klar und verständlich. Außerdem sehr interessant :)

    Von Isi95, vor etwa 4 Jahren