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Transkript Geometrie – Prüfungsaufgabe Trigonometrie (1)

Hallo! Wir machen eine neue Aufgabe zu einem neuen Thema. In der Abschlussprüfung Realschule Klasse 10 im Jahr 2010 im Bundesland Hessen kommt ein Thema vor bei den Wahlaufgaben und zwar das Thema Trigonometrie (Sinussatz, Kosinussatz). Okay, da kommt jetzt eine Aufgabe zur Trigonometrie. Es geht hier um die Familienaufstellung nach Hellinger. Du musst nicht unbedingt wissen, was das ist, um die Aufgabe zu lösen, aber ich wollte es mal kurz zeigen. Also: Man kann Symbole nehmen für z.B. dich, für deine Mutter und deinen Vater und wenn du die jetzt irgendwo hinstellst, dann kann man daraus vielleicht sehen, wie du dich fühlst, wie du dich zu deiner Mutter fühlst und zu deinem Vater, oder was auch immer, hier dargestellt mit irgendwelchen neutralen Symbolen. Wenn man das auf so eine Drehscheibe legt, dann kann man ein bisschen sehen wie die Gewichtung ist und so. Also da ist viel möglich. Die Drehscheibe habe ich mir ausgedacht, weil ich einen schrägen Tisch habe, aber normalerweise hat man den ja nicht. Man kann auch andere Symbole nehme, z.B. kannst du dich so darstellen und dann kommt noch deine Mutter dazu z.B. hier und dein Vater. Ja, wenn's passt, nicht wahr? Aber du merkst, gleich sind die Emotionen da und das kann man sich zunutze machen, dass solche Emotionen auftreten und daraus kann man dann möglicherweise viele Schlüsse ziehen und auch eine gute Therapie daraus machen. Ich will mich da gar nicht weiter zu äußern, ob das funktioniert und wie das funktioniert, ist ja auch gar nicht nötig, nur mal so kurz zur Einführung, damit du ein bisschen weißt, was du da machst. Also, der Aufgabentext lautet: An einer Familienaufstellung nach Hellinger sind der Vater, die Mutter und das Kind beteiligt. Sie haben die in der Zeichnung angegebenen Entfernungen voneinander. Hier ist die Zeichnung und da sind die Entfernungen angegeben, wir haben hier in Gelb das Kind, in Rot die Mutter, in Blau der Vater - welch Farbsymbolik. Kind - Mutter ist 5m, Mutter - Vater haben 4m Abstand und Vater und Kind haben 4,5m Abstand. Du kannst das alles auf meiner Homepage dir anschauen, Mathematikwerkstatt. Ja, es sind hier alle Abstände gegeben und wir suchen folgendes in der Aufgabe 1: Unter welchem Sehwinkel α sieht das Kind seine Eltern (runde auf ganze Grad)? Also, hier bei dem Kind ist erst mal der Winkel α, ich mal das mal auf eben. Wir haben also hier das Kind K, wir haben die Mutter M und wir haben den Vater V. Stimmt jetzt nicht ganz, ist egal. Hier haben wir 5m, Mutter - Vater ist 4m lang und das hier ist 4,5m lang, wie gesagt, stimmt nicht ganz, ist egal. Und der Sehwinkel α, der ist hier. Ja, wie kann man hier vorgehen? Es kann sein, dass du direkt eine Idee hast. Es kann aber auch sein, dass du im Moment keine hast, was macht man dann? Man überlegt sich, dass es ja hier um Trigonometrie geht. Kosinussatz, Sinussatz sollen zur Anwendung kommen und einer von beiden wird es wohl sein, entweder Definition der trigonometrischen Funktionen, oder einfach einer dieser beiden Sätze und Pythagoras wahrscheinlich auch noch. So ist eigentlich die Marschrichtung, irgendetwas davon wird schon vorkommen. Kann der Sinussatz vorkommen? Nun, im Sinussatz haben wir 2 Seiten und 2 Winkel, hier haben wir aber 3 Seiten und 1 Winkel, um die es hier geht - ich denke, das fällt raus. Kosinussatz haben wir 3 Seiten und 1 Winkel, von daher wird es wohl der Richtige sein. Da wir den Winkel α suchen, schreiben wir den Kosinussatz in der Version hin, in der der Winkel α vorkommt und das ist diese Version, nämlich a²=b²+c²-2bc×cosα Und wir suchen den Kosinus α, also wir suchen α natürlich eigentlich und deshalb müssen wir das Ganze hier nach α umstellen. Und das geht folgendermaßen: wir rechnen also minus b² und minus c², teilen das Ganze noch durch -2bc und erhalten so Kosinus von α. Wir wollen aber den Winkel α haben und nicht den Kosinus von α, deshalb müssen wir von dem ganzen Zeug hier den Wert der Umkehrfunktion des Kosinus bilden, also Arcuskosinus davon, bzw. cos-1 davon, was das Gleiche bedeutet. Das müssen wir errechnen und wir können hier noch -1 ausklammern, hier -1 ausklammern und das jeweils dann kürzen. Und in der Endfassung sieht die Sache also so aus: cos-1 von b² ... ja, wenn hier jetzt +b steht und wir -1 ausgeklammert haben, schreiben wir das b an den Anfang, das ist die übliche Schreibweise... cos-1 (b²+c²-a²/2bc). Und der cos-1-Wert an dieser Stelle, der ist gleich α. Ja und dann muss man noch die Zahlen einsetzen, das bedeutet: ich fang hier mal an mit b. Also, wenn wir hier α haben, dann muss hier die Seite a sein, dann ist hier die Seite b und da ist die Seite c. Und deshalb ist b=4,5, c=5, a=4; ich teile durch 2×b, b ist 4,5; 2×b×c, c ist 5, alles in Klammern, davon cos-1. So und dann kommt der große Winkel heraus, das große Ergebnis hier, das ist ungefähr 49°. Trommelwirbel wäre jetzt ganz gut gewesen. Okay, ja, das kommt da raus, das ist die Lage. Ich hab das hier natürlich heimlich vorbereitet, hab das nicht im Kopf gerechnet. Ja, mehr ist dazu nicht zu sagen. Das Kind, kann man noch als Antwortsatz schreiben, sieht seine Eltern unter dem Sehwinkel 49°. Viel Spaß damit, tschüss!

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2 Kommentare
  1. Giuliano test

    @ Enasara98:
    Es gibt auch den Tangenssatz für allgemeine Dreiecke in mehreren Ausführungen. Er setzt zwei Seiten mit ihren entsprechenden Winkeln in Verbindung (zum Beispiel a,b, alpha und beta). Man wendet den Tangenssatz also dann an, wenn alle bis auf eine der in der Formel gegebenen Größen bekannt sind. Üblicherweise sind die Prüfungsaufgaben zu allgemeinen Dreiecken mit dem Cosinus- und Sinussatz zu lösen, da diese in der Regel einfacher zu lernen sind. Außerdem ist die Rechnung etwas einfacher als beim Tangenssatz. In der Schule ist der Tangenssatz deswegen nicht üblich.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor fast 2 Jahren
  2. Default

    was ist eigentlich mit dem tangessatz?

    Von Enasara98, vor fast 2 Jahren
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