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Transkript Exponentielles Wachstum – Erklärung

Hallo! Es gibt viele Arten des Wachstums und der Abnahme, eine davon - eine wichtige davon, die auch sehr häufig vorkommt - ist das exponentielle Wachstum oder die exponentielle Abnahme. Dazu habe ich mal was vorbereitet. Hier, das könntest du sein - oder halt ein Symbol dafür. Du hast Eltern, einen Vater und eine Mutter, dein Vater hat wieder 2 Elternteile, einen Vater und eine Mutter, deine Mutter ebenfalls, die haben wieder Eltern, und so weiter. Hier haben wir also die Situation, das nennt man ein Baumdiagramm: so herum gesehen wäre es natürlich ein schönerer Baum, weil er dann nach oben wächst - das ist ein umgekehrter Baum, es heißt aber trotzdem Baumdiagramm, man könnte es auch seitlich nehmen. Auf jeden Fall ist das ein Baumdiagramm, und das hier sind quasi die Äste - so sagt man das. Und wir können hier feststellen, dass die Anzahl der Äste auf jeder Stufe um den gleichen Faktor zunimmt, denn man muss 1 mit 2 multiplizieren, damit 2 rauskommt, man muss 2 mit 2 multiplizieren, damit 4 rauskommt, man muss 4 mit 2 multiplizieren damit 8 rauskommt - hier sind es ja schon 8 Äste. Dann müsste man auf der nächsten Stufe wieder mit 2 multiplizieren, dann hätte man 16 Äste, und so weiter. Also, wir können hier feststellen, dass wir, um von einer Stufe zur nächsten zu kommen, immer mit 2 multiplizieren müssen, also mit einem Faktor, mit dem Faktor 2. Und das ist auch schon die bestimmende Eigenschaft des exponentiellen Wachstums. Man kann es also so definieren: Nimmt eine mathematische Größe in gleichen Abständen immer um den gleichen Faktor zu oder ab, handelt es sich um exponentielles Wachstum oder um exponentielle Abnahmen. Also: In gleichen Abständen immer um den gleichen Faktor. Faktor ist das, womit multipliziert wird, hier also jeweils mit 2, weil man immer mit 2 multiplizieren muss, deshalb nimmt hier diese mathematische Größe - die Anzahl der Äste auf jeder Stufe - um den Faktor 2 zu. Und warum heißt das jetzt exponentielles Wachstum? Du erinnerst dich an Potenzen, da kam das vor mit den Exponenten. Wir haben also zum Beispiel: ab = c Das a ist die Basis - ich wiederhole noch mal eben - , das ist der Potenzwert, das Ganze hier heißt Potenz - oft wird das durcheinander geschmissen. Aber ich möchte das nicht durcheinander schmeißen. Potenzwert - Potenz, ab, a ist die Basis und das hier, das b, das ist der Exponent. Und wenn ich mal diese mathematische Größe - Anzahl der Äste pro Stufe - beschreiben möchte, kann ich das folgendermaßen machen. Hier auf der ersten Stufe 1 haben wir dich alleine. Anzahl ist 1, 1 ist auch 20 - das kennst du aus der Potenzrechnung, 20 ist 1. Auf der zweiten Stufe haben wir 21 Äste, nämlich 2 (21 ist ja 2). Eine Stufe weiter haben wir dann 22 Äste, nämlich 1, 2, 3, 4. Dann haben wir auf der nächsten Stufe 23, dann 24, 25, und so weiter Äste. Und du siehst, das, was sich hier in der Beschreibung jeweils ändert, ist der Exponent. Durch verschiedene Exponenten mit gleicher Basis kann man also dieses Wachstum beschreiben. Ich habe es jetzt nicht ganz genau wissenschaftlich nachvollzogen, ob es genau daran liegt, aber vielleicht nur so als Merkregel: Weil man das Wachstum hier mit verschiedenen Exponenten darstellen kann, daher der Name exponentielles Wachstum. Nur damit du ungefähr weißt: was soll das eigentlich, warum wählt man solche Begriffe? Es gibt natürlich auch die exponentielle Abnahme, die kriegt man sofort wenn man das ganze umdreht, dann wird das immer um den Faktor 2 weniger, oder: Also um von hier nach da zu kommen, muss ich ×1/2 rechnen, hier, ×1/2, ×1/2, ×1/2. Also um von hier nach da zu kommen, muss ich ×1/2 rechnen, hier, ×1/2, ×1/2, ×1/2. Und damit ist also hier auch eine exponentielle Abnahme gegeben. Übrigens, solche Baumdiagramme kommen andauernd vor. Bei Gerüchteverbreitung: Wenn du 2 Leuten etwas erzählst, die erzählen es auch wieder 2 Leuten weiter, und so weiter und so fort, dann haben wir hier die Art und Weise wie sich Gerüchte verbreiten. Oder auch in der griechischen Mythologie gibt es das auch. Da gab es die Hydra, die Hydra hat 9 Köpfe. Einer davon ist unsterblich, und die anderen 8 haben eine besondere Eigenschaft: Nämlich wenn man 1 abschlägt, dann wachsen an dieser Stelle 2 Neue, die noch schrecklicher und grausamer und garstiger sind als die vorigen Köpfe. Also das ist sehr dramatisch. Herakles, oder - lateinisch gesagt - Herkules, hat ja gegen die Hydra gekämpft, hat es dann - glaube ich - mit Hilfe von Iolaos und dem Feuer geschafft, die Hydra doch noch zu besiegen. Egal! Bei uns kann es auch weniger dramatisch zugehen. Ich wollte nur sagen, das mit dem exponentiellen Wachstum, das ist schon ziemlich alt, auch eben in der griechischen Mythologie. Es kommt häufiger vor, auch im täglichen Leben. Dazu folgen noch Beispiele, bis bald, tschüss!  

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6 Kommentare
  1. Default

    Klasse Video,
    sehr gut erklärt...
    allerdings sollte man sich vielleicht die Zahlenwerte aus dem Text anschauen da bei diesen zum Bsp die Zahl 2hoch1 dann gut und gerne 21 genannt wird. Ich denke das kann man verbessern, LG

    Von Nicki Tt, vor etwa einem Jahr
  2. Default

    sehr schön erklärt, sodass ich es jetzt vollständig verstehe (:

    Von Maike Kopka, vor fast 2 Jahren
  3. Snoopy

    sehr gutes video leicht verständlich gut erklärt danke:-)

    Von Bettina Klaile, vor fast 3 Jahren
  4. Flyer wabnik

    Danke, Green Spirit! :)

    Von Martin Wabnik, vor etwa 4 Jahren
  5. Default

    Maestro Wabnik, Sie sind ein temperamentvoller, emotionsgeladener und rundherum kultiger Mathelehrer :-).

    Von Green Spirit, vor etwa 4 Jahren
  1. 05032011008

    Genial wie jedes andere Video :)

    Von Fabian H., vor mehr als 5 Jahren
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