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Transkript Exponentielle Wachstumsvorgänge

Bakterienpopulationen wachsen durch Zellteilung. Die Zeit, die eine Zelle braucht, um sich zu teilen, nennt man Zellteilungsrate. Sie ist für verschiedene Bakterienarten unterschiedlich. Das Darmbakterium Escherichia coli benötigt für eine Teilung unter Laborbedingungen ca. 17 Minuten, das zur Käseherstellung verwendete Bakterium Lactococcus lactis dagegen 48 Minuten. Welche Mathematik steckt aber hinter der Käseherstellung? Die Antwort findest du in diesem Video.

Exponentielles Wachstum am Beispiel Bakterienproduktion

Die Frage ist also: Wie schnell wächst eine Bakterienpopulation, z.B. Lactococcus lactis, unter idealen Bedingungen? Um das herauszubekommen, kannst du eine Wertetabelle machen. In die erste Zeile trägst du die Zeitschritte ein, in die zweite Zeile die Zahl der Bakterien.

Es wird angenommen, dass zum Zeitpunkt Null nur ein Bakterium existiert. Nach dem ersten Zeitschritt, also nach 48 Minuten, erfolgt die erste Zellteilung. Jetzt existieren zwei Bakterien.

Nach weiteren 48 Minuten teilen sich diese zwei Organismen, so dass die Gesamtzahl der Bakterien auf vier steigt. Du siehst, dass sich die Population mit jedem Zeitschritt verdoppelt, da sich alle alle Bakterien jeweils einmal teilen.

Du füllst die Tabelle für fünf weitere Zeitschritte aus und siehst, dass nach 336 Minuten schon 128 Bakterien vorhanden sind. Mit Hilfe der Wertetabelle kann das Wachstum grafisch dargestellt werden.

Wenn du die Punkte in ein Diagramm einträgst und einen Funktionsgraphen hindurchlegst, ergibt sich die typische Form einer Exponentialfunktion. Mit der Exponentialfunktion kann man exponentielles Wachstum mathematisch beschreiben. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet f(x)=cax. Dabei bezeichnet man c als Anfangswert und a als Wachstumsfaktor.

Der Anfangswert gibt an, welchen Wert die Größe zum Zeitpunkt x=0 hat. Im Beispiel ist der Anfangswert c=1, da zum Zeitpunkt x=0 ein Bakterium vorhanden ist.

Der Wachsumsfaktor gibt an, um welchen Faktor die Größe pro Zeiteinheit anwächst. Im Beispiel beträgt der Wachstumsfaktor rund 1,0145. Der Wachstumsfaktor ist beim exponentiellen Wachstum konstant. Vom Wachstumsfaktor a ist die Änderungsrate k zu unterscheiden.

Als Änderungsrate k bezeichnet man die absolute Änderung der Größe pro Zeiteinheit, also Delta N durch Delta t. Die Änderungsrate entspricht dabei der Steigung des Funktionsgraphen zum betrachteten Zeitpunkt. Beim linearen Wachstum ist die Änderungsrate k konstant. Pro Zeiteinheit erfolgt immer die gleiche Änderung der Größe.

Beim exponentiellen Wachstum dagegen ist die Änderungsrate nicht konstant, sondern proportional zur beobachteten Größe selbst. Das leuchtet am Beispiel der Bakterienpopulation ein: je mehr Bakterien vorhanden sind, desto mehr Bakterien können durch Teilung auch neu entstehen.

Die Änderungsrate zum Zeitpunkt t1 entspricht dem Anstieg der Tangente an den Funktionsgraphen zu diesem Zeitpunkt. Zum Zeitpunkt t_1 = 192 min beträgt die Änderungsrate k_1 = 0,23. Zum Zeitpunkt t_2 = 288 Minuten beträgt die Änderungsrate dagegen 0,92.

Zusammenfassung exponentielles Wachstum

Hier noch einmal eine Zusammenfassung: exponentielles Wachstum beschreibt das Wachstum einer Größe, wenn die Geschwindigkeit des Wachstums proportional zur Größe selbst ist. Das ist bei vielen natürlichen Prozessen der Fall, z.B. bei der Vermehrung von Organismen.

Aber auch die Entwicklung eines verzinsten Sparguthabens auf dem Bankkonto kann durch exponentielles Wachstum beschrieben werden. Das exponentielle Wachstum wird durch die allgemeine Gleichung f(x)=cax beschrieben. c bezeichnet den Anfangswert und a den Wachstumsfaktor. Der Wachsumsfaktor ist eine Konstante und gibt das relative Wachstum pro Zeiteinheit an. Das absolute Wachstum pro Zeiteinheit, die Änderunsrate k, ist beim exponentiellen Wachstum nicht konstant.

Hättest du gedacht, dass im Käse soviel Mathematik steckt? Vielleicht findest du ja in deiner Umgebung noch mehr Dinge, denen exponentielles Wachstum zugrunde liegt. Viel Spaß dabei!

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