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Transkript Exponentialfunktionen – Rekonstruktion allgemein (1)

Also wir haben Wachstums und Zerfallprozesse, expotenzielle Wachstums; und Zerfallsprozesse, die durch solche Funktionen hier angegeben werden. Du sollst die Expotenzialfunktionen und eine typische Aufgabe dabei ist, dass ein Anfangswert gegeben ist und ein Punkt des Graphen. Man soll jetzt halt die Funktion, die oder die, vollständig bestimmen. Das heißt hier in dem Fall, wenn die Funktion so aussehn soll, mit dem e hier, dann muss man das k bestimmen. Das k ist die Zerfallskonstante oder die Wachstumskonstante. Und hier muss man das a bestimmen, wenn die Funktion so geschrieben werden soll, also die Basis der Expotenzialfunktion. Typische Aufgaben dazu sind: Man hat eine Bakterienkultur gegeben, anfangs sind es 1000 Bakterien, das ist dann das c, der Anfangswert, und dann hat man einen Zeitpunkt später, zum Beispiel 3 Tage später, und dann sind es wie viele Bakterien? 10000? Ok, dann sind sie aber langsam im Vermehren. Nach 3 Tagen sind es 10000 Bakterien, alles klar. Zum Beispiel und dann soll man jetzt die Wachstumskonstante bestimmen und dann die Funktion angeben, oder man kann es auch mit Zerfall machen,  radioaktives Material, zum Beispiel, 100 Gramm sind die zerfallen können und nach ein paar Jahren also sagen wir mal 10000 Jahren wiegt man noch mal nach und dann sind noch 30 Gramm da. So zum Beispiel. Da kann man dann halt daraus die Funktion bestimmen. Ja, wie macht man das? Wir wissen ja, und Du sagtest es eben ja schon, dass wir immer einen Anfangswert gegeben haben und das immer unser c ist. Muss ich mal eben aufschreiben, dass immer gegeben ist, hier einmal unser c, und ein Punkt des Graphen, das heißt wir haben ein bestimmtes t. Wie nenn ich das bestimmte t, t0. Der Punkt des Graphen hat also die Koordinate t0 und natürlich den Funktionswert f von t0. Eigentlich ist ja sehr viel gegeben, und zwar c ist gegeben, wir haben t0, da würde man einfach t0 in die Funktion einsetzen, dadurch ist dieses t und das t bestimmt. Und wir haben f t von 0. Auch das, was hier steht. Das schreibe ich mal eben auf. Das ist dann eine bestimmte Zahl, das ist auch eine bestimmte Zahl. K, e ist natürlich auch eine bestimmte Zahl. Und k suchen wir und to ist gegeben. Das zeigt, hier können wir also gemeinmachen, ich habe das schon mal gezeigt mit konkreteren Aufgaben für die Mittelstufe dann mit Expotenzialfunktionen. Aber wir können das hier jetzt Mal ganz allgemein machen. Ja, wie geht es dann weiter? Ausrechnen! Genauer gesagt, die Gleichung nach k auflösen. Also f von t0 geteilt durch c gleich e hoch k mal t0. So dann hast Du schon gesagt logarithmieren zur Basis in. Dann kommt hin? k mal t0. Wenn man den Logorhythmus bildet von e mal k hoch t, dann sucht man die Zahl, mit der man e potenzieren muss, um e hoch k mal t0 zu bekommen. Und das ist k mal t0. Genau. Und dann muss man noch, um das k aufzulösen,  durch t0. Und her von ln von f von t0 geteilt durch c, geteilt durch t0. Und das ist gleich k. So, und wenn man das nicht mit dieser Funktion hat, sondern c mal a, hoch t, dann macht man so etwas ähnliches. Das werden wir auch mal eben zeigen. Mit den Logorhythmen. Dann ist das gut, wenn wir erst logarithmieren. Und jetzt kommt die Version ohne. C mal a hoch t0 und wir müssen nach a auflösen. Wenn wir ja a haben, ist ja alles Weitere gegeben. Durch c, wie üblich dann ok. Und jetzt? Müssen wir den Exponent auflösen, sage ich mal. Ganz salopp gesagt, damit wir auf das a kommen können und das machen wir indem wir... Also man kann sich das inetwa so vorstellen: wenn hier jetzt a Quadrat stehen würde, was würde man machen? Wen hier a hoch 3 stehen würde, würde man die dritte Wurzel ziehen. Auch bei t0, da zieht man die t0te Wurzel. Das schreiben wir so natürlich nicht auf, sondern wie man ja weiss, sind gebrochen rationale Expontenten Wurzeln. Also kann ich hoch 1 durch t0 rechnen. Das ist dann die t0te Wurzel. Ich schreibe das mit einer vernünftigen Exponenten hier. Es passiert hier also Folgendes, wir haben f von t0, geteilt durch c und das ganze hoch 1 durch t0, und das ist gleich a. So und dann sind wir fertig, da bleibt kein Auge trocken, kann man nichts weiter machen.

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