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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^(-x^2) (3)

Hallo! Wir machen weiter mit unserer kleinen Kurvendiskussion, hier mit unserer kleinen Funktionsuntersuchung, wir haben f(x)=x×e^-x2 und wir haben schon Definitionsbereich, Symmetrie, Achsenschnittpunkte und wir haben die Ableitungen gemacht und die brauchen wir jetzt um die Extrempunkte zu bestimmen. Wie geht man da vor? Wir wissen ja, das ist die notwendige Bedingung gibt, die besagt, ein Extrempunkt kann sich nur an einer Nullstelle der 1. Ableitung befinden. Das bedeutet, ich muss einfach die 1. Ableitung hier gleich 0 setzen. Schon passiert. Dann stellen wir fest, da darf ich mich kurzfassen, ich hab das schon öfter gemacht hier, in diesem Kurs über Funktionsuntersuchungen. Wir stellen fest, die 1. Ableitung ist ein Produkt. Ein Produkt ist nur 0, wenn ein Faktor 0 ist. e hoch irgendwas wird nicht 0, das heißt, wir müssen letztendlich das hier gleich 0 setzen. Und wenn man 1-2x²=0 setzt, dann erhält man 1=2x², wenn man das jetzt +2x² auf beiden Seiten rechnet und dann kann man noch durch 2 teilen und erhält dann ½=x², und damit haben wir die Nullstellen. Und zwar, wie wir das jetzt am besten aufschreiben: x1=1÷\sqrt2. Ich hoffe, das bringt dich nicht aus der Ruhe, wenn man die Wurzel von ½ nimmt, ist das ja 1÷\sqrt2. Du kennst die Wurzelrechengesetze und ich muss das nicht weiter erläutern. Wir haben x2=-1÷\sqrt2 und damit haben wir die beiden Nullstellen der 1. Ableitung. Dann können wir die hinreichende Bedingung verwenden, die besagt ja, dass wenn die 1. Ableitung gleich 0 ist und die 2. Ableitung an der gleichen Stelle ungleich 0 ist, dann befindet sich an der Nullstelle der 1. Ableitung ein Extremum oder ein Hochpunkt oder Tiefpunkt. Das müssen wir jetzt noch machen. Und auch das möchte ich jetzt nicht in allen Einzelheiten vormachen, du würdest es sowieso in deinen Taschenrechner eintippen, um zu gucken, was rauskommt. Das hier ist sowieso immer positiv, egal was man für x einsetzt. Und wenn man hier 1÷\sqrt2 einsetzt, also 1÷\sqrt2 sind ungefähr 0,707, und wenn man das einsetzt, kommt hier etwas Negatives raus, das ist glaub ich, -2×\sqrt2 kommt da raus. Das bedeutet, die 1. Ableitung ist an dieser Stelle hier, machen wir mal eben in einer anderen Farbe. An dieser Stelle ist sie negativ bei x1 und wenn man x2=-1÷\sqrt2 einsetzt, dann ist sie positiv. Das bedeutet, an der Stelle hier haben wir ein Maximum, und an der Stelle ein Minimum. Und dann muss man noch die Funktionswerte an den jeweiligen Stellen ausrechnen. Wir haben ja noch nicht den y-Wert des Maximums bzw. des Hochpunktes. Und das mach ich jetzt mal. Das bedeutet, ich muss jetzt einfach in die Funktion f(1÷\sqrt2) einsetzen, und das ist 1÷\sqrt(2)×e-1÷\sqrt22. Da brauchen wir ein bisschen vertikale Ausdehnung hier in der ganzen Sache, aber da klappt das auch. Und was kommt dann raus? Das darf ich noch ein bisschen zusammenfassen hier. Wir haben 1÷\sqrt2, das bleibt vorne stehen, und dieses Quadrat hier, das kann ich noch weiter bestimmen, das ist ½, also ×e^-½. Und weiter kann man es nicht umformen, zumindest nicht einfacher machen. Man kann noch den Funktionswert als Näherungswert angeben und das ist dann ungefähr 0,4288. Und damit haben wir einen Hochpunkt bestimmt, der liegt bei 1÷\sqrt2 und 1÷\sqrt2×e^-½. Ich schreib das so hin, das sind die exakten Zahlen und Näherungswerte kann man natürlich auch noch angeben. Dann müssen wir uns noch um diese Nullstelle der 1. Ableitung kümmern. Wenn wir die in die 2. Ableitung einsetzen, hab ich schon gesagt, kommt was Positives raus. Dann müssen wir noch -1÷\sqrt2 in die Ausgangsfunktion einsetzen und wir können uns direkt schon vorstellen, was hier passiert. Wenn wir hier -1\sqrt2 einsetzen, dann werden wir das quadrieren, das wird hier also das Gleiche sein wie vorher, da verschwindet das Vorzeichen beim Quadrieren. Aber hier, wenn wir noch ein negatives Vorzeichen haben, das heißt, ich muss einfach, wenn ich den Funktionswert jetzt ausrechnen möchte, hier noch ein Minuszeichen hinschreiben und dann hab ich den Tiefpunkt. Ist auch, wenn ich das noch sagen darf, keine Überraschung, denn die Funktion ist punktsymmetrisch, wenn wir hier die Achse haben und da die andere Achse. Wenn wir hier, von dir aus gesehen einen Hochpunkt haben, dann muss da ein Tiefpunkt sein, sonst wären die ja gar nicht punktsymmetrisch. Kann man sich ruhig mitüberlegen, dann weiß man, dass man richtig gerechnet hat und auf der sicheren Seite ist. Dann brauchen wir noch die Wendepunkte. Und das geht so, das kann ich glaub ich wegwischen. Wendepunkte können sich nach der notwendigen Bedingung für Wendepunkte nur dort befinden, wo die 2. Ableitung gleich 0 ist. Hier unten steht sie. Und dann darf ich wieder den Spruch aufsagen: Das ist ein Produkt, ein Produkt ist nur 0, wenn ein Faktor 0 ist. Dieser Faktor ist sowieso nicht 0, das heißt, ich kann also gleich -6x+4x³=0 setzen. Das soll eine 0 sein. Und wir erhalten eine Gleichung 3. Grades. Alles ein bisschen klein geschrieben, aber das soll kein Problem sein weiter, denn wir können ja, das 1. was man guckt, wenn man eine Gleichung 3. Grades hat, ist, kann ich ein x ausklammern, dann kann ich die Variable ausklammern. Das geht hier, ich schreib gleich hier weiter. Wir können ein x ausklammern und haben dann noch -6+4x² in der Klammer stehen. Dann wissen wir, eine Nullstelle ist sowieso schon bei x=0, weil es wieder ein Produkt ist und ein Produkt nur 0 wird, wenn ein Faktor 0 ist. Wir müssen noch -6+4x²=0 setzen. Und auch das kann ich jetzt ein bisschen schneller machen, ich bringe mal die 6  auf die andere Seite. Das heißt, wir haben dann 6=4x², ich darf durch 4 teilen und dann stehen da noch 3/2, 6÷4=3/2=x². Und damit haben wir gleich die Nullstellen direkt der 2. Ableitung, das ist x1=\sqrt(3/2) und x2=-\sqrt(3/2). Und das muss man dann noch jeweils in die 3. Ableitung einsetzen. Ich zeig noch mal eben die 3. Ableitung. Da drunter ist sie. Wenn man den und den Wert jeweils in die 3. Ableitung einsetzt, dann kommt ein Ergebnis raus, das ungleich 0 ist. Die hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist hier erfüllt. Ich mach das hier nicht im Einzelnen vor, du kannst das in deinen unseligen Taschenrechner eintippen und wirst feststellen, dass ich Recht habe. Ja, die hinreichende Bedingung für Wendepunkte ist erfüllt. Und jetzt brauchen wir nur noch die Funktionswerte an den entsprechenden Stellen und dazu müssen wir die Nullenstellen der 2. Ableitung in die Ausgangsfunktion einsetzen. Also in x×e^-x² und das geht folgendermaßen: Wir haben \sqrt(3/2), setz ich für x ein, mal, oh da hab ich zu wenig Platz nach oben, \sqrt(3/2), ja das kann passieren, da muss man nur mutig das dann wieder wegwischen und nicht dann oben wieder alles hinquetschen, wenn wir feststellen: Oh, ich hab doch zu wenig Platz gelassen. Wir haben \sqrt(3/2)2. Das ist der Term, der sich ergibt, wenn man für x \sqrt(3/2) einsetzt. Und das kann man noch ein bisschen umformen, diese Wurzel hebt sich ja auf quasi, wenn man sie quadriert. Das bedeutet, wir haben also letzten Endes hier stehen (\sqrt(3/2))×e^-(3/2) und das ist ungefähr 0,2732, wenn man es ausrechnet, ich lass es so stehen. Und dann wissen wir, dass wir einen Wendepunkt haben bei \sqrt(3/2) und dem, was hier steht, also (\sqrt(3/2))×e^-(3/2), das ist der exakte Wert, du kannst natürlich noch einen Näherungswert hinschreiben. So, und jetzt kann ich weiter folgern, weil ich weiß, dass die Funktion punktsymmetrisch ist, dass sich der andere Wendepunkt bei -(\sqrt(3/2))×e^-(3/2) befinden muss. Wenn hier die y-Achse ist und hier ist die x-Achse und ich hab hier irgendwo einen Wendepunkt, dann muss der andere hier irgendwo sein, weil die Funktion punktsymmetrisch ist. Den 2. Wendepunkt schreib ich jetzt nicht hin, der ist hier bei -\sqrt(3/2) und hier kommt auch noch ein Minuszeichen davor, dann haben wir den 2. Wendepunkt. Wir haben noch eine Sache hier nicht beachtet bisher, nämlich die 3. Nullstelle, die ist ja bei x=0. Wir haben die 2. Ableitung. Wir haben ja eine Nullstelle bei x=0 auch bei der 2. Ableitung. Wir müssen jetzt gucken, was passiert, wenn man für x=0, also wenn man für x in die 3. Ableitung 0 einsetzt. Da könnt ja auch noch ein Wendepunkt sein. Und was soll ich sagen, das ist ungleich 0, wenn wir  für x 0 einsetzen, das ist 0, das ist 0 und das ist ungleich 0. Also wenn wir für x 0 einsetzen in die 3. Ableitung, dann ist die Ableitung ungleich 0, das heißt, auch da ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Also haben wir einen Wendepunkt auch noch bei x=0. Den Funktionswert an der Stelle x=0 haben wir sowieso schon bestimmt, der ist 0. Also haben wir den 3. Wendepunkt bei 0 0. Schreib ich auch nicht weiter auf. 3 Wendepunkte ist klar, glaub ich. Im letzten Teil kommt dann der Rest noch. Ich bau das jetzt nicht noch alles um. Bis dahin viel Spaß. Tschüss.

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1 Kommentar
  1. Default

    da ist doch ein fehler, die 3. Nullstelle ist = 0, also existiert bei x=0 eingesetzt in die Gleichung KEIN Wendepunkt. e^0 ist 1 und 1 mal 0 ist 0. Warum soll da plötzlich ein Wendepunkt sein? Oder liegt der WP bei (0;1) ?

    Von Schmi Mue, vor fast 4 Jahren