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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^(-x^2) (1)

Hallo! Es geht um eine Kurvendiskussion, einer Funktionsuntersuchung. Das sind die Punkte dazu, die ich hier abhandeln möchte. Hier könnte man vielleicht noch hinzu schreiben, Asymptoten. Das hat ja auch mit dem Verhalten im Unendlichen zu tun. Und es geht um die Funktion f(x)=x×e-x². So, jetzt steht hier als erster Punkt die Symmetrie, man kann aber auch mit dem Definitionsbereich anfangen. Hier ist es nicht besonders interessant. D=R, der Definitionsbereich ist gleich der Menge der reellen Zahlen, das heißt man kann für x hier alle möglichen reellen Zahlen einsetzen. Es gibt hier einfach keine Einschränkungen. Dann möchte ich, bevor ich hier richtig loslege mit der Kurvendiskussion, noch auf eine klitzekleine Sache hinweisen, nämlich, dass -x² etwas anderes ist als (-x)². Also hier wird (-x)×(-x) gerechnet und hier wird x×x gerechnet und danach wird das Minuszeichen davor geschrieben und man hat sofort das Ergebnis. Das ist ein Unterschied und weil es hier oben vorkommt wollte ich es noch mal kurz erwähnt haben. Dann geht's los mit Punkt Nummer 1 hier - und zwar haben wir die Symmetrie. Es gibt zwei Möglichkeiten, es gibt die Punktsymmetrie und die Achsensymmetrie, grundsätzlich. Ich möchte hier nur die Achsensymmetrie zur y-Ache untersuchen und die Punktsymmetrie zum Ursprung. Die können auch wo anders sein, aber üblicherweise werden nur die beiden untersucht. Und bei der Achsensymmetrie gilt ja dann die Formel f(x)=f(-x). Und da habe ich schon die Vermutung, das kann nichts werden. Ich würde hier lieber eher die Punktsymmetrie untersuchen und da sieht ja die Formel so aus: f(x)=-f(-x). Warum muss man nicht beides untersuchen? Es gibt nur eine einzige Funktion, die achsen- und punktsymmetrisch ist, das ist nämlich y=0, also die x-Achse selber, die ist achsen- und punktsymmetrisch. Da es hier nicht nur um die x-Achse geht, kann ich durch geschickte Wahl der Untersuchung mir etwas Arbeit sparen. Das heißt also, wenn ich jetzt feststellen sollte, dass diese Funktion punktsymmetrisch ist, dann ist sie auf jeden Fall nicht achsensymmetrisch. Okay, was muss ich machen? Einmal schreibe ich den Term hin x×e-x² und dann muss ich ein großes Minuszeichen davor setzen und dann muss ich für x jeweils noch -x einsetzen. Dann steht hier also -(-x)×e^- ja aufpassen, dieses Minuszeichen ist dieses, was ich hier hingeschrieben habe, da muss ich für dieses x hier oben noch -x einsetzen, also steht hier -x und dann wird das ganze noch quadriert. Hier zum Abschreiben und Wohlfühlen. Da muss man immer drauf achten, dass man also wirklich nur für das x jeweils noch das -x einsetzt und hier das Minuszeichen noch mal zusätzlich davor schreibt. So, was haben wir jetzt davon? Den einen Term kann ich noch mal abschreiben. Also haben wir hier x×e-x², das ist gleich... Minus mal Minus hebt sich ja auf, also kann ich einfach x schreiben, dann haben wir e hoch, und jetzt ist hier, in der Klammer steht ja -x und das wird quadriert, Minus mal Minus ergibt Plus, also kann ich einfach statt dieser Sache hier, statt (-x)² auch x² schreiben, dann muss ich aber dieses Minuszeichen davor auch noch hinschreiben. Also steht hier -x². Und das hier sind zwei identische Gleichungsseiten und daher ist diese Funktion punktsymmetrisch. Da kommt ja immer das gleiche raus, wenn auf beiden Seiten das gleiche steht. Okay, dann haben wir das schon mal erledigt. Dann mache ich noch schnell die Achsenschnittpunkte, das geht hier schnell. Und zwar können wir uns als erstes vielleicht überlegen, was sind die Nullstellen der Funktion. Da muss man den Funktionsterm einfach gleich 0 setzen. Also haben wir hier x×e-x²=0. So, das Ganze ist ein Produkt. Ein Produkt ist nur dann 0, wenn ein Faktor 0 ist e hoch irgendetwas ist überhaupt nicht 0, für gar kein x. Also e-x² ist ja der eine Faktor und x ist der andere Faktor. Da e hoch nicht 0 wird, muss x 0 werden damit das Produkt 0 ist, also können wir schon hinschreiben, eine Nullstelle ist bei 0 und der y-Wert dazu ist auch 0. Ist ja klar, bei Nullstellen ist das ja so, da ist der y-Wert 0. Das ist auch die einzige Nullstelle und damit wissen wir auch wo die anderen Achsenschnittpunkte sind beziehungsweise der andere Achsenschnittpunkt. Wir haben ja noch die y-Achse und um herauszufinden wo die y-Achse geschnitten wird müssen wir für x 0 einsetzen. Das Ergebnis ist bereits bekannt. Was herauskommt, wenn wir für x 0 einsetzen, nämlich 0, und damit sind hier die Achsenschnittpunkte alle erledigt. Die Funktion geht einfach durch den Nullpunkt und das ist auch die einzige Nullstelle, die diese Funktion hat. Ja, dann mit den Extrempunkten und so was mache ich im nächsten Teil weiter mit Ableitungen. Bis dahin, viel Spaß! Tschüss!

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3 Kommentare
  1. Default

    Entschuldigung, die macht er ja unter dem Punkt Achsenschnittpunkte :)

    Von Kevschauer, vor 11 Monaten
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    Warum macht er bei keiner seiner Kurvendiskussionen Nullstellen?

    Von Kevschauer, vor 11 Monaten
  3. Default

    danke, schön erklärt

    Von Fabianwasse, vor mehr als 4 Jahren