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Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=xe^x (1)

Hallo, wir machen eine Kurvendiskussion einer e-Funktion, und zwar der Funktion f(x)=xex.

Folgende Punkte möchte ich zeigen. Wir könnten anfangen mit dem Definitionsbereich, der wird oft in dem Zusammenhang nicht gefragt, weil e-Funktionen überall definiert sind. Dann möchte ich auf jeden Fall aber zeigen Symmetrie,  Achsenschnittpunkte, Extrema, Wendepunkte, Globalverhalten oder Verhalten im ∞, den Graphen kurz andeuten und ganz am Schluss das Monotonieverhalten, das wird nicht immer gemacht. Das kommt ganz am Schluss, dann kannst du wenn du meinst es nicht zu brauchen einfach abschalten.

Zunächst einmal der Definitionsbereich, wie bei e-Funktionen üblich die jetzt keinerlei Nenner haben, oder so was, der D=R, dass heißt, man kann alle reellen Zahlen hier einsetzen.

Punkt 1, Symmetrie. Wir können uns zunächst einmal die Achsensymmetrie hier angucken. Hier brauchen wir die Definitionen dafür. Die Definition der Achsensymmetrie, also die Symmetrie zur y-Achse, es gibt auch noch andere Achsensymmetrien, die ich hier aber nicht zeigen:

f(x)=f(-x).

Wenn diese Gleichung für alle x richtig ist, dann ist diese Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse. Um das also nachzuprüfen, müssen wir den Funktionsterm von f(x), in unserem Fall nun also x×ex hinschreiben, gleichsetzen, in den Funktionsterm werden wir dann 8-x) statt des x einsetzen, also steht hier: -x×e-x. Wenn das für alle x richtig wäre, dann wäre f(x) achsensymmetrisch. Nun möchte ich zunächst einmal durch x teilen, das geht nur dann, wenn x≠0 ist. Das ist hier keine wesentliche Einschränkung, bzw. wenn wir feststellen würden, dass her eine immer-richtige Gleichung herauskommt, dann müssten wir hinterher gucken, was ist denn, wenn x=0 ist? Ist dann diese Gleichung auch richtig? Aber dazu wird es nicht kommen, weil dann diese Gleichung nicht für alle x richtig sein wird. Also, dann steht hier noch ex=e-x, Verzeihung, ich habe ein - vergessen, -e-x. Und jetzt könnt man noch mit ex multiplizieren, dann haben wir, weil ja e-x=1/x bedeutet, dann seht hier

(ex)²=-1.

Dann könnte man hier noch mit ex kürzen, weil ja das auch ≠0 ist. So, und wenn wir hier etwas quadrieren, dann wird das nicht -1 für reelle Zahlen, ex ist  sowieso nicht negativ, und von daher ist diese Gleichung nicht richtige, und schon gar nicht für alle x. Also diese Funktion ist nicht achsensymmetrisch.

Ich zeige es mal für die Punktsymmetrie, da kann ich mich vielleicht etwas kürzer fassen. Ich muss noch einem kurz sagen, was die Punktsymmetrie eigentlich ist.

f(x)=-f(-x)

Manchmal sagt man auch

-f(x)=f(-x), was ja das Gleiche ist, ich könne ja hier jetzt mit -1 multiplizieren, dann wäre das Minuszeichen auf der Seite. Dann setzte ich das ganze mal ein. Wir haben x×ex=- , und jetzt muss ich mir überlegen, was ich hier mache. Dieses - habe ich her abgeschrieben. Jetzt setze ich für dieses x  hier dieses x ein und dann kommt da noch ein - hin, also -(-x)×e^-x. Und dann darf ich das auch noch ein wenig auflösen. Und zwar haben wir hier ja +x stehen, dann kann ich wieder durch x teilen, falls x ≠0. Dann steht da

ex=e-x.

×ex:  -x bedeutet ja 1/ex, deshalb rechne ich ×ex , dann steht hier:

(ex)²=1

Und das ist nur dann der Fall, wenn ex=1 ist, ex=1 wenn x=0 ist, das brauche ich jetzt nicht mehr aufzulösen finde ich, also ist diese Gleichung für nicht alle x richtig. Damit ist diese Funktion nicht punktsymmetrisch, punktsymmetrisch zum Ursprung - darum ging es. Es gib auch andere Punktsymmetrien, die ich her jedoch nicht betrachte.

Und damit soll es hier nun auch gut sein mit der Symmetrie. Die Achsenschnittpunkte kommen im nächsten Teil, bis dahin tschüss.

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