Advent, Advent, 1 Monat weihnachtliche Laufzeit geschenkt.

Nicht bis zur Bescherung warten, Aktion nur gültig bis zum 18.12.2016!

Textversion des Videos

Transkript Exponentialfunktionen – Kurvendiskussion f(x)=4xe^(-x) (2)

Hallo! Es geht weiter mit der Funktionsuntersuchung, oder auch Kurvendiskussion genannt, der Funktion f(x)=4xe^-x. Wir haben schon die Symmetrie behandelt und wir haben uns auch um den Definitionsbereich gekümmert und jetzt geht es weiter mit den Achsenschnittpunkten. Ok, was sind Achsenschnittpunkte? Das sind zum einen die Nullstellen der Funktion und es ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Das heißt also, der Funktionswert an der Stelle x=0. Ich male es mal eben auf, ganz kurz. Wenn wir hier das Achsenkreuz haben, dann könnte eine Funktion so irgendwie laufen oder so. Dann haben wir hier den Schnittpunkt mit der y-Achse. Der x-Wert an der Stelle ist ja gleich 0. Und wir haben ansonsten noch die Punkte, an denen der Funktionsgraph die y-Achse schneidet und das sind die Nullstellen der Funktion. Hier nur eben mal kurz zur Veranschaulichung. So, ich fange an mit dem Schnittpunkt mit der y-Achse, also mit dem Funktionswert bei x=0. Da kann ich mich ganz stumpf anstellen und einfach mal für x hier 0 einsetzen, ja? Dann habe ich 4×0×e^-0. Nun weiß ich, wenn man etwas mit 0 multipliziert, dann kommt da immer 0 raus. Also ist der Funktionswert an der Stelle x=0 0. Das bedeutet, wir haben schon eine Nullstelle. Wenn der Funktionswert 0, dann ist das ja eine Nullstelle, dann schneidet der Graph auch die x-Achse. Wir müssen sonst noch überlegen, ob es weitere Nullstellen gibt. Also muss man den Funktionsterm gleich 0 setzen. Also 4x×e^-x=0. Also bis hierhin ist der Schnitt mit der y-Achse. Jetzt kommen die weiteren Nullstellen, muss man in dem Fall sagen, weil wir ja schon eine haben. So, und dann wissen wir, dass dieser Funktionsterm ein Produkt ist. Wir wissen auch, ein Produkt ist genau dann 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Ein Faktor hier, kann man so sehen, man kann es auch an 3 Faktoren sehen, aber ich sage jetzt einfach mal, hier der eine Faktor hier, ist 4x. 4x ist genau dann 0, wenn x=0 ist. Ja, brauche ich nicht weiter nachweisen, weißt Du so. Es könnte nun auch der zweite Faktor gleich 0 sein. Wir wissen aber, dass e^-x, überhaupt positive Zahl hoch irgendetwas, ist niemals 0. Dieser Faktor hier wird also nicht 0 und deshalb wissen wir, dass die einzige Nullstelle bei x=0 ist. Wie man dass jetzt aufschreiben will, weiß ich nicht. Du kannst jetzt hier NST für Nullstelle, ist bei 0 0, so. Kann man so hinschreiben. Oder keine Ahnung. Da gibt es sehr viele Bezeichnungen zu, da möchte ich mich gar nicht einmischen, wie Du das aufschreiben sollst. Gut, dann würde ich sagen, geht`s gleich weiter mit den Extrempunkten. Wir brauchen also die Ableitungen. Und ich sage gleich noch was zu den hinreichenden Bedingungen. Zur hinreichenden Bedingung oder zum hinreichenden Kriterium und zum notwendigen Kriterium und so weiter. Aber zunächst mal müssen wir einfach diese Funktion hier ableiten und das geht nun folgendermaßen. Wir wissen, dass hier ein Produkt steht. Das heißt, wir müssen die Produktregel anwenden. Zunächst mal müssen wir den ersten Faktor ableiten. 4x abgeleitet ergibt 4. Dann müssen wir mit dem zweiten Faktor multiplizieren, also ×e^-x. Dann können wir addieren. Und zwar das Produkt aus erstem Faktor, nämlich 4x, und wir müssen den zweiten Faktor noch ableiten. Die Ableitung von e^-x ist eine verkettete Funktion. Es wird zunächst, also jedenfalls für x eingesetzt, dann wird mit -1 multipliziert. Also -1×x ist die innere Funktion. Äußere Funktion ist e hoch diese innere Funktion. Hier muss man also die Kettenregel anwenden. Ableitung der inneren Funktion mal Ableitung der äußeren Funktion, lautet die Kettenregel. Die Ableitung der inneren Funktion ist -1. Ableitung der äußeren Funktion bleibt so, wie die Funktion ist, nämlich e^-x. Das habe ich nicht schön geschrieben. Das ist -1, so. Ich hoffe, das war nicht zu schnell für Dich. Ich gehe davon aus, dass Du die Ableitungen eigentlich kannst und ich möchte hier nur einfach kurz die Schritte erwähnen. Wenn Du sie nicht so gut kannst, kannst Du sie gerne üben. Es gibt viele Filme dazu. Schon mal viel Spaß damit! So was muss man einfach pauken, so was muss man draufhaben. Das ist genauso, wenn man Klavier spielen will, dann muss man die Tonleiter können. Und hier muss man halt, wenn man eine Kurvendiskussion macht, die Ableitungen können. So ist die Lage! Aber kann man halt üben und dann kann man das. Das ist auch nicht so kompliziert, das läuft immer gleich ab, kein Problem. Dann kann ich jetzt hier noch was zusammenfassen. Und zwar möchte ich ausklammern mithilfe des Distributivgesetzes. Auch das setze ich mal bei Dir voraus, dass Du das kannst, dass Du das weißt, was das Distributivgesetz ist, wie man ausklammert. Kurz für die Zwischenschritte hier: Ich möchte e^-x ausklammern. Dann habe ich hier noch die 4 stehen und da stehen noch -4x. Das heißt, -4x kommt dann eben in Klammer. Das ist eine 4. So, das ist jetzt die erste Ableitung in ausgeklammerter Version. Jetzt kommt noch die zweite Ableitung. Ich mache gleich hier weiter. Zweite Ableitung von x. So, wir haben wieder ein Produkt vor uns, wir müssen den ersten Faktor ableiten. Das ist dann -ex. Erkläre ich jetzt nicht weiter, habe ich gerade schon erklärt. Zweiten Faktor abschreiben, nämlich 4-4x + erster Faktor × Ableitung des zweiten Faktors. Wenn man hier die ganze Klammer ableitet, kommt einfach -4 raus. Also ×(-4) darf ich dahinter schreiben. Und dann kann man das Ganze noch zusammenfassen. So, zweite Ableitung ist: Ich möchte e^-x ausklammern. Was möchte ich denn ausklammern? Also, ich habe gesagt, e^-x möchte ich ausklammern. Das ist eigentlich egal, ob man hier -ex ausklammert oder irgendwas, also. Dann habe ich hier noch stehen: eine 4, beziehungsweise eine -4, weil ja hier das Minuszeichen noch mit berücksichtigt werden muss. Hier steht noch +4x und da steht -4x. Im Ganzen ist es also 4x-8. Das ist die zweite Ableitung. Gut, dritte Ableitung brauchen wir auch noch. Zeige ich im nächsten Teil. Bis dahin! Viel Spaß! Tschüss!                

Informationen zum Video
2 Kommentare
  1. Flyer wabnik

    @Issam Stayler: Stimmt, hätte ich machen können, wollte ich aber nicht, weil ich aus Erfahrung weiß, dass es an dieser Stelle wichtig ist zu erwähnen, wie man das lernt.
    Wenn du nicht wissen möchtest, wie man das lernt, kannst du diesen Teil ja einfach überspringen.

    Von Martin Wabnik, vor fast 3 Jahren
  2. Default

    in der zeit wo du sagst wie man das zu lernen hat könntest du es einfach kurz erklären wie es geht

    Von Issam Stayler, vor fast 3 Jahren