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Transkript Exponentialfunktionen bestimmen – Anwendung (1)

Hallo. Wir können Exponentialfunktionen mit der Funktionsgleichung y=b×ax bestimmen, wenn wir die Basis a haben, und ein Wertepaar. Und wie das geht, möchte ich einfach mal an einem Beispiel erklären. Es könnte sich Folgendes zutragen: Du möchtest Millionär werden, und zwar, indem du Geld zur Bank bringst. Das Geld wird mit 3 % verzinst, schreibe ich mal eben auf hier; 3 %. Du möchtest, wenn du in Rente gehst, das Ganze wieder abholen, ich sage mal ungefähr in 50 Jahren ist das und dann möchtest du Millionär sein. So könnte es sein, egal ob das vernünftig ist oder nicht. Ich gehe jetzt mal davon aus, dass das so ist. Die Frage ist, wie viel musst du dann jetzt anlegen, wenn das also so sein soll? Rein formal geht es jetzt darum, das b zu bestimmen, denn das a haben wir schon, und zwar diese 3 %. Wir wissen, wenn wir 3% Zinsen haben, dann müssen wir ein Kapital mit 1,03 multiplizieren. Damit da 3 Zinsen draufkommen, von einem Jahr zum nächsten, multipliziert man mit 1,03. Erkläre ich jetzt hier nicht weiter, das setze ich mal voraus, dass du das weißt. Wenn es mehrere Jahre sind, also nach 2 Jahren, rechnet man dann eben ×1,03², bei 3 Jahren ×1,03³. Gut. Wir möchten weiter Folgendes voraussetzen: Wie ich gesagt habe, möchten wir das Geld in 50 Jahren abholen und dann möchten wir Millionär sein. Das bedeutet, x ist dann gleich 50, denn es wird 50 Jahre lang verzinst. Der y-Wert ist dann 1.000.000 und dann sind wir Millionär. Wir müssen Geld anlegen, das ist das b, das ist der Anfangswert, und die Frage ist jetzt natürlich, wie viel müssen wir anlegen, damit wir dann Millionär sind. So, wie rechnet man das? Ich setze einfach mal das, was wir hier haben ein. Für y setze ich 1.000.000 ein, da sind viele Nullen zu schreiben - ich kann natürlich auch einfach 106 schreiben   =b×ax, und ax ist 1,03 und x ist 50. So, ich tendiere ja immer dafür, dass du, bevor du rechnest, dir erst Gedanken darüber machst, wie groß das ungefähr sein kann, was du da rechnest. Aber hier würde ich sagen, wenn du da keine Erfahrung mit Exponentialfunktionen hast, dann hast du auch keine Chance. Du kannst dir ja mal den Spaß machen und was Raten. Aber abschätzen im Sinne einer vernünftigen, mathematischen Schätzung musst du das jetzt nicht können. Deshalb kann man hier jetzt einfach weiter rechnen. Und zwar müssen wir jetzt noch teilen durch 1,0350 und dann kriegen wir b raus. Das möchte ich dann jetzt auch mal in die vernünftige Schreibweise bringen: b ist dann also 106, das ist ja 1 Million. Ich schreibe jetzt auch nicht geteilt durch 1,0350, denn wenn ich potenziere, dann kann ich ja, statt das Ganze in den Nenner zu schreiben, hoch minus schreiben, das ist ja das Gleiche. Also steht da 1,03^-50. So, und das ist eine der wenigen Gelegenheiten, wo man den Taschenrechner benutzen kann. Und ich habe das vorher gemacht, es kommt ungefähr sowas raus hier, das muss ich eben ablesen: 228107,08. Das ist sehr genau gerundet. So viel Geld müssten wir anlegen, also circa 230.000 Euro, um bei einem Zinssatz von 3 % in 50 Jahren Millionär zu sein. Ich würde sagen, wenn man das Geld schon mal da liegen hat, die 230.000. Euro, dann kann man damit sicher was sinnvolleres anfangen, als es zur Bank zu bringen. Ja, und damit haben wir also rein formal Folgendes gemacht: Wir haben das b bestimmt aus einer Exponentialfunktion, bzw. noch formaler gesagt: Wir haben eine Exponentialfunktion bestimmt aus einer gegebenen Basis und einem Wertepaar. Das läuft auch immer so durch, das ist das Schöne bei den Exponentialfunktionen, da gibt es nicht so viele Ausnahmen. Man kann eine Methode nehmen und die immer durchziehen. Und es funktioniert immer. Gut, ne!? Viel Spaß damit. Tschüss.

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2 Kommentare
  1. Bildschirmfoto 2015 09 09 um 11.04.40

    Woher weiß man denn, dass mit den 1,03 und woher weiß man denn, x=50 und 1000000=y ????????

    Von Emma Marlene, vor etwa 3 Jahren
  2. Foto 13.12.12 14 56 34

    Klasse Video. Danke. ;)

    Von Svepo, vor fast 4 Jahren